Funciones extensibles únicas... ¿Existe una teoría?

Question

Motivación : Tomemos una función continua $f$ de un espacio topológico $X$ a un espacio hausdorff $Y$ . Si $g$ es una función continua de $X$ a $Y$ que coincide con $f$ en un conjunto denso, entonces $g=f$ .

Tomemos una función analítica $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ . Si $g$ es una función analítica que coincide con $f$ en un conjunto con punto límite, entonces $g=f$ .

Bien, ahora dada la motivación, mi pregunta es la siguiente:

¿Existe una teoría que tenga como objetivo caracterizar las funciones que satisfacen una determinada propiedad de "extensión única", en un contexto general?

Por ejemplo, podríamos definir:

Definición: Dada una familia $\mathcal{F} $ de mapas $f:X \rightarrow Y$ , $f \in \mathcal{F}$ se dice que satisface $P$ -extensibilidad única en $(X,Y)$ si para cada subconjunto $A \subset X$ que satisface la propiedad $P$ tenemos que toda función $g \in \mathcal{F}$ que coincide con $f$ en $A$ es tal que $f=g$ .

Así, por ejemplo, toda función continua es denso-único-extensible en $(\mathbb{R}$ , $\mathbb{R})$

¿Tal vez haya un punto de vista categórico de esto?

Answer 1

Esto está muy relacionado con la noción de epimorfismo . En la categoría de espacios de Hausdorff, los epimorfismos son aquellos mapas continuos con imagen densa. En la categoría de las variedades suaves, los epimorfismos tienen la misma descripción; pero ésta puede simplificarse debido al teorema de la identidad.

Answer 2

Si suponemos que su clase de morfismos es cerrada bajo composición, contiene identidades e inclusiones de subobjetos que le interesan, de modo que podemos colocar todo esto en una sola categoría, entonces las propiedades de las extensiones se traducen en propiedades elementales del $\mathrm{Hom}$ functor.

Dejemos que $f : A → B$ sea un morfismo (una inclusión de un subespacio $A ⊆ X$ que has mencionado sería un ejemplo motivador) y decir que los morfismos de $B$ a $C$ están determinados de forma única en $f$ si todos los morfismos $g$ , $h : A → C$ que están de acuerdo en $f$ (es decir. $gf = hf$ ) son de hecho iguales. En otras palabras, esto es exactamente decir que $\mathrm{Hom}(f, C)$ es una función inyectiva, así que básicamente estamos preguntando cuándo es este el caso.

Como señala Martin Brandenburg, es evidente que es cierto si $f$ es un epimorfismo (más abstractamente, los funtores hom preservan los monos, por lo que la contravariante traduce los epis a inyecciones). Dado que te interesan principalmente los subobjetos, en tu caso $f$ sería de hecho un bimorfismo. Por supuesto, esto no es necesario: incluso si los morfismos a $C$ se determinan en $f$ , morfismos a $D$ no tiene por qué serlo (en otras palabras: los homofunctores no reflejan necesariamente los monos). Una forma de asegurar que la épica es necesaria es exigir que $C$ sea un cogenerador, es decir, que para cada par $f$ , $g : X → Y$ de morfismos paralelos distintos existe un morfismo $h : Y → C$ que los distingue ( $hg ≠ hf$ ). Un ejemplo de cogenerador es el intervalo unitario para espacios funcionalmente Hausdorff o mejores. Esto es terriblemente restrictivo, pero no creo que se pueda decir mucho más en una situación tan específica en la que ambos $f$ y $C$ son fijos. Por supuesto, si se permite $C$ para variar entonces se obtiene exactamente la definición de un epimorfismo.

ps. He cambiado tu "únicamente extensible a través de f" por "únicamente determinado en f", porque creo que "únicamente extensible" debería implicar extensibilidad, lo que no es el caso aquí: cada morfismo de anillo $\mathbb Q → \mathbb Z/(5)$ está trivialmente determinada de forma única en $\mathbb Z → \mathbb Q$ pero ningún morfismo $\mathbb Z → \mathbb Z/(5)$ puede ampliarse a $\mathbb Q$ . Nótese que la extensibilidad también tiene una formulación categórica fácil: decir que todo morfismo $g : A → C$ se extiende a través de $f : A → B$ es exactamente pedir la función $\mathrm{Hom}(f, C)$ para que sea sobreyectiva. La extensibilidad única correspondería entonces a que esa función fuera biyectiva. La existencia de extensiones es un problema más difícil porque en general los funtores hom no preservan ni reflejan los epis. Dos formas de asegurar que las extensiones existen serían exigiendo que $f$ sea un mono dividido, de modo que $A$ es un repliegue de $B$ o que $C$ sea un objeto inyectivo, pero ambos son exagerados (aunque el primero es exactamente lo que se necesita si se permite $C$ ser arbitrario).