Anillo Local noetheriano

Question

Me encontré con este viejo problema del examen. Si $R$ es un anillo local noetheriano y $I$ es un ideal en $R$ tal que $I^2=I$ y $I =0$.

Agradecería cualquier sugerencia. Sólo estoy familiarizado con lo que la definición de local y media noetheriano. No sé por qué estas características son útiles.

Answer 1

Cómo familiarizado con el Jacobson radical $J(R)$? Es la intersección de todos los máximos ideales de un anillo de $R$ con 1. Si $r\in J(R)$ tenemos $1-r$ no puede estar en un ideal maximal y por tanto debe ser invertible.

Para responder a su pregunta, usted debe demostrar de lo que era en realidad, para $M$ un ideal de a $R$, en Jacobson tesis de años antes de que se hizo conocido como Nakayama a Lexema (con Nakayama negar que (Nakayama) fue el creador).

Nakayama del Lema Deje $M_R$ ser un finitely módulo generado a través de cualquier anillo de $R$ con identidad. A continuación,$MJ(R)\ne M$.

Para mostrar esto, empezar con $\{a_1,\ a_2,\ \cdots\, \ a_n\}$ un conjunto de generadores para $M$ de menor cardinalidad $n$. Express $a_1$ como una suma de la forma $a_1=\sum_{i=1}^n a_ij_i$ donde $\{j_i\}\subseteq J(R)$. Ahora espero que usted puede completar la prueba del teorema en su publicación y edición de la publicación para asegurarse de que el teorema es matemáticamente correcta.

Answer 2

Sugerencia: Lema de Nakayama.

(También, ya que no requiere $I$ a ser un ideal correcto, técnicamente $I=R$ también es posible.)