Para resolver un par de simultáneos ecuaciones de Pell-como

Question

Estoy tratando de demostrar a continuación.

Conjetura: Si $a,b,c$ es números enteros positivos que satisfacer el sistema de ecuaciones\begin{align} a^2+3b^2 &= 4c^2, \ a^2-3b^2 &= -2, \end {Alinee el} entonces $(a,b,c)=(1,1,1)$.

Desgraciadamente, todos mis esfuerzos han terminado dando vueltas en círculos. Supongo que es una prueba relativamente fácil (probablemente por el descenso). Se agradecería cualquier sugerencias/consejos.

Answer 1

Este es el mismo problema que una vez publicada hace 3 años. Sustitución de nombres de variables para evitar la confusión, es el antiguo sistema\begin{align} 2x^2−1 &= y^2, \ 2x^2+1 &= 3z^2. \end align {} ahora poner $y=a$, $x=c$ y $z=b$, para que el sistema se convierte\begin{align} 2c^2-1 &= a^2, \ 2c^2+1 &= 3b^2. \end {Alinee el} sustituto $2c^2=a^2+1$ (según lo dado por la primera ecuación) en el segundo para obtener % o $a^2+2=3b^2$ $a^2−3b^2=−2$. Ahora multiplica la primera ecuación por $2$ y compararse con $-2$ a $2a^2-4c^2 = a^2-3b^2$, $a^2+3b^2=4c^2$.