Explicación de la fórmula de coeficiente Binomial

Question

Estoy confundida con respecto a la derivación del hecho de que, $${n \choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}$ $

Entiendo que el número de secuencias de objetos de $n$ arreglado $k$ es

$$\frac{n!}{(n-k)!}$$

y también entiendo por qué podría ser $n!$ permutaciones diferentes de las mismas letras de $n$, pero mi pregunta es:

En la fórmula, por qué una división por $k$! ¿para deshacerse de tales combinaciones? ¿Cómo que les quita?

Answer 1

El número de secuencias de longitud $k$, se pueden formar a partir de $n$ objetos distintos es, de hecho,$\frac{n!}{(n-k)!}$. Pero si quieres saber el número de subconjuntos de tamaño $k$, es necesario eliminar las múltiples contando debido permutaciones. Es decir, un subconjunto de tamaño $k$ pueden ser organizados en una secuencia (conjunto ordenado) en $k!$ diferentes maneras, por lo que el número de secuencias es $k!$ tan grande como el número de subconjuntos. Puede eliminar varios de contar por el factor de $k!$ dividiendo ese factor.

Consideremos un ejemplo concreto. Usted tiene tres objetos llamados a, B y C, y desea formar subconjuntos de tamaño de dos (pares no ordenados). En particular, desea saber cuántos desordenada de los pares que se pueden formar. Hay seis pares ordenados: AB, BA, CA, CA, BC, CB. Cada desordenada par contados dos veces ($2!=2$). Es decir, cada desordenada par corresponde a dos pares ordenados. Para deshacerse de este doble contabilización, se divide el número por dos.

Answer 2

$\dbinom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} $, $n!$ formas de organizar objetos números hay $(n-k)!$ formas de organizar los que no elegimos y en las combinaciones el orden no importa. ¡Hay k! formas de organizar los objetos de $k$ elegir, pero otra vez la orden no importan por lo que se cuentan como el mismo. en pocas palabras, porque no nos importa sobre pedido, podemos dividir por el número de maneras para organizar objetos de $k$ y $n-k$ elegido no objetos.

Answer 3

Yo también tenía problemas en el dominio de las combinaciones, permutaciones y por igual, así que estoy muy interesado para exponer el plan que finalmente adoptado para obtener a través de.

Consideremos, en primer lugar el número de maneras de organizar un $k$-tupla de $n$ diferentes objetos.
En un $k$-tupla de la orden es tomado en cuenta, y dos $k$-tuplas son considerados diferentes si tienen al menos un par de objetos diferentes, o si tienen los mismos elementos, pero situada en un orden diferente.

Ha $n$ opciones para el elemento para recoger y poner como primera, $n-1$ para el segundo, ..., a a $n-k+1$ para el k-ésimo elemento.
Por lo tanto, usted tiene $n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)$ diferentes maneras de hacerlo, es decir no se $n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)$ diferentes $k$-tuplas.
Claramente $n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=n!/(n-k)!$.

A continuación, tenga en cuenta el número de maneras de organizar $k$ diferentes (etiquetado) de objetos en una fila de $n$ etiquetado de las bandejas, donde cada contenedor puede estar vacía o contener máximo de un objeto. Distinguir los arreglos ya sea porque el vacío-lleno de secuencia es diferente, o porque los objetos en el mismo bin son diferentes. Para poner el primer objeto que puede elegir entre $n$ contenedores, para el segundo $n-1$ papeleras, ... y que terminan con el mismo número que antes.

Ahora, si el orden en que los objetos se organizan en el $k$-tupla no es tomado en cuenta, es decir que están considerando la posibilidad de $k$-subconjuntos de un $n$, entonces es claro que a partir de cada una de las $k$-subconjunto usted puede hacer $k!$ diferentes $k$-tuplas.
Por lo tanto el número de $k$-subconjuntos es $n!/(k!(n-k)!)={{n} \choose {k}}$.

De la misma manera, si usted considera que la disposición en contenedores que sólo se diferencian por la posición de los objetos en la fila (el bin que son), y no por la etiqueta del objeto (es decir, los objetos son idénticos en ambos casos), entonces es evidente que, por mantener firme la posición de los objetos y el intercambio de sus etiquetas , en $k!$ formas, disfrute de todas las disposiciones considerado anteriormente, de $k$ distinguibles (etiquetado) de los objetos en $n$ distinguible (etiquetado) de basura.

Answer 4

¡Se divide por k! porque hay k! posibles permutaciones de k elementos. Esto le da sólo el número de combinaciones de $\frac {1}{k!} ×$ $n (n-1)(n-2)... (n-(k-1)) $.