Encontrar la tabla de caracteres de este grupo

Question

si $ G = <a,b| a^9 = b^3 = 1, bab^{-1} = a^4> $ de la orden 27

entonces sepa lo siguiente, que cualquier elemento puede escribirse como $b^ka^n$ con n $\in [0,8], k\in[0,2]$ y que las 11 clases de conjugación son las siguientes:

$\{1\}\{a^3\}\{a^6\}\{a,a^4,a^7\}\{a^2,a^5,a^8\}\{b,ba^3,ba^6\}\{ba,ba^7,ba^4\}\{ba^2,ba^5,ba^8\}\{b^2,b^2a^3,b^2a^6\}\{b^2a,b^2a^4,b^2a^7\}\{b^2a^2,b^2a^5,b^2a^8\}$

Entonces si H es un subgrupo normal generado por $a$ con carácter lineal $\rho$ tal que $\rho(a) = e^{2\pi i/9}$ ¿Cómo puedo calcular el carácter inducido? $\rho^G$ así como la tabla de caracteres

Sé que habrá 11 caracteres irreducibles de G pero no estoy seguro de cómo empezar a rellenar las entradas de la tabla. Como se trata de una pregunta de un examen pasado sin solución, no tengo ninguna fuente de pistas que me indiquen la dirección correcta para la respuesta

cualquier ayuda será muy apreciada

Answer 1

Desde $G' = \langle (bab^{-1})a^{-1} \rangle = \langle a^3 \rangle$ tenemos $G/G' \cong C_3 \times C_3$ . Esto da $9$ caracteres de grado $1$ , incluyendo tres que tienen un núcleo que contiene $H$ Así pues, los personajes de $G/H \cong C_3$ .

Su idea de considerar el carácter $\rho : \langle a \rangle \rightarrow \mathbb{C}^\times$ definido por $\rho(a) = \exp(2\pi i/9) = \zeta$ es una buena. Deja que $H = \langle a \rangle$ . Por reciprocidad de Frobenius

$$\langle \rho\uparrow^G , \rho\uparrow^G \rangle_G = \langle \rho\uparrow^G\downarrow_H, \rho \rangle_H. $$

Ahora $\rho\uparrow^G\downarrow_H(a^i) = \rho(a^i) + \rho(ba^ib^{-1}) + \rho(b^2a^ib^{-2})$ así que $\rho\uparrow^G\downarrow_H$ es la suma de tres conjugados distintos de $\rho$ . Por lo tanto, el lado derecho anterior es $1$ y $\rho\uparrow^G$ es irreducible.

Así que $\rho\uparrow^G$ es un carácter irreducible de grado $3$ , satisfaciendo $$\rho\uparrow^G(a^3) = \zeta^3 + \zeta^{12} + \zeta^{48} = 3\zeta^3 = 3\exp (2\pi i/3).$$ Desde $\rho(a^3) \not\in \mathbb{R}$ , $\bar{\rho}$ debe ser el carácter irreducible restante.

Alternativamente, conociendo los grados y los nueve caracteres lineales, podrías utilizar las relaciones de ortogonalidad de filas y columnas para completar la tabla de caracteres. Como todos los elementos de $G$ no en $Z(G) = \langle a^3 \rangle$ tienen centralizador de tamaño $9$ el grado $3$ los caracteres irreducibles son cero fuera $Z(G)$ . (En particular $\rho(a) = \zeta+\zeta^4+\zeta^{16} = \zeta + \zeta^4 + \zeta^7 = 0$ .) Esto sólo deja cuatro entradas por encontrar.

Answer 2

Creo que mi respuesta será bastante similar a la de Mark, pero me parece algo más elemental.

Como dijo Mark, la abelianización de $G$ es el grupo abeliano generado por dos elementos conmutables de orden 3 $A$ y $B$ (y, obviamente, el mapa de abelianización envía $a$ a $A$ y $b$ a $B$ ). Esto le da una lista completa de $1$ -representaciones irreducibles: hay nueve de ellas, y verás en tu tabla de caracteres la tabla de caracteres de $C_3\times C_3$ .

Por cierto, su lista de clases de conjugación es ahora fácil de entender. Los elementos conjugados son mapeados al mismo elemento en el grupo abelianizado. Como el mapa de abelianización es de 3 a 1 y el número de elementos de una clase de conjugación debe dividir el orden del grupo, las clases de conjugación tienen 1 o 3 elementos.

Un elemento $g$ está solo en su clase de conjugación si está en el centro de $G$ : sólo hay tres elementos de este tipo (puedes comprobarlo a mano o puedes utilizar ejercicios de teoría de grupos pequeños: el centro de $G$ tiene que ser no trivial porque $G$ es un $3$ -y no puede tener más de $3$ elementos porque, si no, $G/ZG$ sería cíclico, lo que obliga a $G$ para ser abeliano). Así que el centro de $G$ tiene tres elementos: $\mathrm{id}$ , $a^3$ y $a^6$ y las otras clases de conjugación son los conjuntos de 3 elementos que son enviados al mismo elemento (no trivial) en la abelianización: $c_{i,j} = \{a^i b^j, a^{i+3} b^j, a^{i+6} b^j\}$ . Tenemos entonces tres clases de un elemento y ocho de tres elementos.

A continuación, puede utilizar el $\sum_\chi (\dim \chi)^2 = |G|$ fórmula para obtener que el $11 - 9 = 2$ las representaciones restantes tienen dimensiones $n_1, n_2 > 1$ tal que $n_1^2 + n_2^2 = 27 - 9 = 18$ . La única solución es $n_1 = n_2 = 3$ .

Ahora, demostraré que los caracteres correspondientes a estos $3$ -representan a la dimensión que se desvanece en el $3$ -clases de conjugación de elementos. En efecto, supongamos que para una de estas clases, $\chi_\rho(c) = z \neq 0$ . Entonces puedo usar una representación unidimensional $\lambda$ para torcer $\rho$ : Obtengo una representación irreducible $\rho \otimes \lambda$ tal que $$\chi_{\rho \otimes \lambda}(c) = \lambda(c) \chi_{\rho}(c).$$ Como estas clases de conjugación de tres elementos son enviadas a un elemento no trivial del grupo abelianizado, puedo encontrar dos representaciones unidimensionales tales que $\lambda_1(c) = j$ y $\lambda_2(c) = j^2$ . Los tres $3$ -representaciones irreducibles de dimensiones $\rho$ , $\rho \otimes \lambda_1$ y $\rho \otimes \lambda_2$ entonces tienen que ser diferentes (sus caracteres toman valores diferentes en la clase de conjugación $c$ ), pero eso es absurdo, porque sólo hay dos $3$ -representaciones irreducibles. (También se puede demostrar este resultado utilizando las condiciones de ortogonalidad).

Todavía tenemos cuatro entradas indeterminadas (los valores de los dos caracteres tridimensionales en las dos clases de conjugación centrales no triviales), pero las condiciones de ortonormalidad son ahora suficientes para determinarlas.

Si $\alpha = 3 e^{\frac{2 \pi i}3}$ y $\alpha' = \overline{\alpha}$ , obtenemos entonces la tabla de caracteres completa (donde $\mathrm{III}_k$ son las ocho clases de conjugación de 3 elementos).

$$\begin{array}{c||ccc|ccc|ccc|cc} &\{\mathrm{id}\} & \mathrm{III}_1 & \mathrm{III}_2 & \mathrm{III}_3 & \mathrm{III}_4 & \mathrm{III}_5 & \mathrm{III}_6 & \mathrm{III}_7 & \mathrm{III}_8 & \{a^3\} & \{a^6\}\\ \hline \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \lambda_1 & 1 & 1 & 1 & j & j & j & j^2 & j^2 & j^2 & 1 & 1 \\ \lambda_2 & 1 & 1 & 1 & j^2 & j^2 & j^2 & j & j & j & 1 & 1 \\ \hline \lambda_3 & 1 & j & j^2 & 1 & j & j^2 & 1 & j & j^2 & 1 & 1\\ \lambda_4 & 1 & j & j^2 & j & j^2 & 1 & j^2 & 1 & j & 1 & 1 \\ \lambda_5 & 1 & j & j^2 & j^2 & 1 & j & j & j^2 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \lambda_6 & 1 & j^2 & j & 1 & j^2 & j & 1 & j^2 & j & 1 & 1\\ \lambda_7 & 1 & j^2 & j & j & 1 & j^2 & j^2 & j & 1 & 1 & 1 \\ \lambda_8 & 1 & j^2 & j & j^2 & j & 1 & j & 1 & j^2 & 1 & 1 \\ \hline \rho_1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \alpha & \alpha' \\ \rho_2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \alpha' & \alpha \\ \end{array}.$$ He elegido este extraño orden para las clases de conjugación para que el principal $8 \times 8$ -submatriz es la tabla de caracteres de $C_3 \times C_3$ . Las líneas simples están ahí sólo para enfatizar la estructura de esta mesa.

Debo decir que todavía no estoy satisfecho... He pasado algún tiempo intentando encontrar una definición elegante de la esquiva (¡pero fiel!) representación tridimensional (digo "la", porque las dos representaciones están conjugadas por un elemento del grupo de Galois, así que son "esencialmente" la misma) pero no tengo mucho que mostrar.

La única manifestación "concreta" que he encontrado es que $G$ es el subgrupo de $$\mathrm{Aff}_1(\mathbb Z/9) = \left\{ x \mapsto m x + p \middle| m \in (\mathbb Z/9)^\times, p\in \mathbb Z/9 \right\}$$ correspondiente al subgrupo (índice dos) de $(\mathbb Z/9)^\times$ generado por $4$ (con este isomorfismo, $a$ es $t\mapsto t+1$ y $b$ es $t\mapsto 4t$ ) y que la representación de la permutación en el conjunto de 9 elementos $\mathbb Z/9$ inducido por esta definición se divide como $$\lambda_1 \oplus \lambda_2 \oplus \lambda_3 \oplus \rho_1 \oplus \rho_2,$$ en la que los tres 1-dimensionales $\lambda_i$ son los que se desvanecen en $a$ .

(Tenga en cuenta que como $\alpha$ no es un número entero, no hay esperanza de encontrar $\rho_1$ y $\rho_2$ como representaciones de permutación. Creo que es probable que aparezcan como algo teórico de los números, quizás en relación con el campo ciclotómico $\mathbb Q(\zeta_9)$ pero hasta ahora mis intentos han sido bastante frustrados).