Que muestra un conjunto de matrices es un subespacio

Question

Tengo que mostrar que un conjunto de matrices que conmutan con la matriz $$\begin{bmatrix} 0&a_2 &a_3 &\cdots & a_n\\ 0& 0 &0 &\cdots &0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0&0 &0 &\cdots &0 \end{bmatrix}$$ es un subespacio y tengo que encontrar a su base.

Sé que para probar la existencia de un subespacio me tienen que demostrar que la matriz cero es en este conjunto y que si $A$ $B$ está en el conjunto que también se $A+B$ está en el conjunto y también para si $r \in \mathbb{R}$ y la matriz a es de la que también se $rA$ es a partir de este conjunto. También entiendo que dos matrices conmutan si $AB=BA$ pero no sé, con lo que la matriz debo multiplicar el dado.

Ok, así que me tomé un arbitraria de la matriz de $\mathbb{R}^{n \times n}$ $$ \begin{bmatrix} e_{11} &e_{12} &e_{13} & \cdots & e_{1n} \\ e_{21} & \cdots&\cdots&\cdots&e_{2n} \\ \vdots & \vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ e_{n1} & \cdots & \cdots & \cdots &e_{nn} \end{bmatrix} $$ Si trato de multiplicar con una determinada puedo conseguir

1. $$\begin{bmatrix} e_{11} &e_{12} &e_{13} & \cdots & e_{1n} \\ e_{21} & \cdots&\cdots&\cdots&e_{2n} \\ \vdots & \vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ e_{n1} & \cdots & \cdots & \cdots &e_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&a_2 &a_3 &\cdots & a_n\\ 0& 0 &0 &\cdots &0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0&0 &0 &\cdots &0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&e_{11}a_2 &e_{11}a_3 &\cdots &e_{11} a_n\\ 0& 0 &0 &\cdots &0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0&0 &0 &\cdots &0 \end{bmatrix} $$

2. $$ \begin{bmatrix} 0&a_2 &a_3 &\cdots & a_n\\ 0& 0 &0 &\cdots &0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0&0 &0 &\cdots &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{11} &e_{12} &e_{13} & \cdots & e_{1n} \\ e_{21} & \cdots&\cdots&\cdots&e_{2n} \\ \vdots & \vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ e_{n1} & \cdots & \cdots & \cdots &e_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_2 e_{21}+a_3 e_{31}+ \cdots + a_n e_{n1} & a_2 e_{22}+\cdots+a_n e_{n2} & \cdots & \cdots & a_2 e_{2n}+ \cdots + a_n e_{nn} \\ 0&0&\cdots&\cdots&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &0 \\ 0 &0&0 & \cdots &0 \end{bmatrix}$$

Ahora tengo que comparar los elementos en ambas calculadas las matrices y me da un sistema de ecuaciones que no sé cómo resolver.

Answer 1

Sugerencia: El mapa $T:\Bbb R^{n \times n} \to \Bbb R^{n \times n}$ por T(B) $ = AB - BA $$ es una transformación lineal. Así, el núcleo de $T$ es un subespacio de $\Bbb R^{n \times n}$.