Resolviendo $x^p-x-1=0$ con la fórmula de inversión de Lagrange

Question

Estoy trabajando en la prueba de que se pueden resolver primero las ecuaciones quínticas reduciendo el polinomio a una de las formas $x^5-x-t$ y luego resolviendo $x^5-x-t=0$ usando la fórmula de inversión de Lagrange en la función $x-x^5$ . Sin embargo, para hacer esto parece como si necesitara ser capaz de calcular $n$ Los derivados de $$ \left ( \frac {x}{x-x^5} \right )^n, $$ por lo cual no puedo obtener una forma cerrada agradable. ¿Podría alguien ofrecer alguna información sobre esto? Gracias.

Answer 1

Fíjate en que

$$ \begin {align} \left ( \frac x{x-x^5} \right )^n&=(1-x^4)^{-n} \\ &=1+ \sum_ {k=1}^ \infty\frac { \Gamma (n+k)}{k! \Gamma (n)}x^{4k} \end {align}$$

Por la expansión del binomio. Así,

$$ \begin {align} \frac {d^r}{dx^r} \left ( \frac x{x-x^5} \right )^n&= \frac {d^r}{dx^r}1+ \sum_ {k=1}^ \infty\frac { \Gamma (n+k)}{k! \Gamma (n)}x^{4k} \\ &= \sum_ {k=1}^ \infty\frac {(4k)! \Gamma (n+k)}{(4k-r)!k! \Gamma (n)}x^{4k-r} \\ &=r! \sum_ {k=1}^ \infty\binom {4k}{r} \binom {n+k}{n}x^{4k-r} \\\end {align}$$

donde $ \frac1 {(4k-r)!}=0$ cuando $r>4k$

Answer 2

Pista: hacer una descomposición parcial de la fracción:

$$ \frac {x}{x-x^5} = \frac {1}{1-x^4} = \frac {A}{x-1} + \frac {B}{x+1} + \frac {C}{x-i} + \frac {D}{x+i}.$$