Supongamos $U\in HS$, Hilbert--Schmidt operadores en $V = L^2(\mathbb{R}^n)$. Hay un isomorfismo natural entre la SA operadores y elementos en $W = L^2(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n)$, en particular, para cada $U\in HS$ no es un porcentaje ($u\in W$tal que $$ [U\varphi](x) = \int_{\mathbb{R}^n} u(x,y)\varphi(y) dy. $$
Supongamos ahora que $U$ es también el seguimiento de la clase. De manera informal (es decir, en la física), $$ \operatorname{Tr} U = \int_{\mathbb{R}^3} u(x,x)dx. $$
Pregunta: ¿en qué medida es la última instrucción rigurosa? Lo que me confunde es que el $u$ sólo se define a un conjunto de medida cero y la integral es tomada como un conjunto. Hay una cierta noción de la traza de un operador que puede ser utilizado aquí, lo que da la "correcta diagonal"? Tomando el límite de sucesivamente estrecho "tiras" a lo largo de la diagonal?
Puedo "demostrar" que es como sigue: vaya a $\{f_\mu\}$ ser un ortonormales base para $V$, dicen funciones de Hermite, de tal manera que $\{f_\mu\otimes f_\nu\}$ es un ortonormales base para $W$, y tenemos una expansión $$ u = \sum_{\mu\nu} u_{\mu\nu} f_\mu\otimes f_\nu.$$ Ahora tenemos $$ \int u(x,x) dx = \sum_{\mu\nu} u_{\mu\nu} \int f_\mu(x) f_{\nu}(x) = \sum_{\mu\nu} u_{\mu\nu} \langle{f_\mu,f_\nu}\rangle = \sum_\mu u_{\mu\mu} = \operatorname{Tr} U. $$
