estructuras casi complejas en $R^4$

Question

Cómo debo ver que el conjunto de estructuras casi complejas en $R^4$ preservar la orientación positiva, es decir, ${J\in GL^{+}(4,R), J^2=-I}$ es equialent de homotopía $S^2$.

Hay una pregunta similar antes, pero necesito más detalles como por qué este sistema es $GL^{+}(4,R)/GL(2,C)$, etcetera.

Answer 1

Fijar un vector distinto de cero $v$. Entonces $Jv$ será perpendicular a $v$, que se encuentra en $S^2\subset \mathbb{R}^3=\langle v\rangle^\perp$. La orientación de $\mathbb{R}^4$ define el último dos direcciones $u_1,u_2=Ju_1$ después de fijar $u_1$. Tenga en cuenta que % de la cosecha $v$y $u_1$ era solo para la presentación de una base de $\mathbb{R}^4$, de modo que para construir $J$ sólo tenemos un $S^2$ valor de opciones (el $\mathbb{R}v\oplus\mathbb{R}u_1$ es contractible).