Que $K$ ser una extensión de campo de $F$% y dejó $a \in K$. Mostrar que $[F(a):F(a^3)] \leq 3$

Question

Deje $K$ ser un campo de extensión de $F$ y deje $a \in K$. Mostrar que $[F(a):F(a^3)] \leq 3$. Encontrar ejemplos para ilustrar que $[F(a):F(a^3)]$ $1,2$ o $3$.

Intento: $F \subset F(a^3) \subseteq F(a)$

El polinomio mínimo de a $a^3$ $F$ $ x-a^3=0$

Yo, por desgracia, no tengo mucha idea de esto en este problema. Podría usted por favor decirme cómo seguir adelante?

Deje $K$ ser una extensión de $F$. Supongamos que $E_1$ $E_2$ están contenidas en $K$ y son extensiones de $F$. Si $[E_1:F]$ $[E_2:F]$ son de primer, muestran que $E_1 = E_2$ o $E_1 \bigcap E_2 = F $

Intento: $[K:F] = [K:E_1][E_1:F] = [K:E_2][E_2:F]$

Ya, $[E_1:F]$ $[E_2:F]$ primer $\implies [E_2:F]$ divide $[K:E_1]$ $[E_1:F]$ divide $[K:E_2]$

¿Cómo puedo seguir adelante?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Considere la posibilidad de $x^3-a^3$, donde aquí $a^3$ es el número que genera $F(a^3)/F$. A continuación, $a$ es una raíz del polinomio, y así que vamos a dejar a $m_a(x)$ el valor del polinomio mínimo de a$a$$F(a^3)$. Sabemos

$$\begin{cases}m_a(x)|(x^3-a^3)\\ \deg m_a(x)\le \deg (x^3-a^3)=3\end{cases}.$$

Pero ya

$$F(a)\cong F(a^3)[x]/(m_a(x))$$

sabemos

$$[F(a):F(a^3)]=\text{deg }_{F(a^3)} F(a)=\text{deg } m_a(x)\le 3$$

Para la segunda pregunta que proceder de forma similar.

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Deje $F\subseteq E'\subseteq E_1$, luego por la torre de la ley de $[E':F]\big|[E_1:F]$ desde $[E_1:F]$ es primo, tenemos $[E':F]\in \{1,[E_1:F]\}$, lo $E'=F$ o $E'=E_1$, y del mismo modo para cualquier subcampo de $E_2$.

Pero, a continuación,

$$F\subseteq E_1\cap E_2\subseteq E_1\implies E_1\cap E_2= F\text{ or } E_1$$

Si es $F$, hemos terminado, si no, a continuación, utilizando el mismo estado en $E_2$ vemos que $E_1\cap E_2=E_2$ (ya que no $F$). Por lo tanto $E_1=E_2$.

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Nota: ¿por Qué no vemos a $K$ en este cálculo? ¿Qué es lo que hay? La respuesta es que $E_1\cap E_2$ no tiene sentido a menos que ambos son subconjuntos de un conjunto común, $K$, debido a una teoría de restricción, pero no es realmente esencial para la prueba aparte de eso, a menos que estamos siendo muy pedante.