Ejercicio de Kosniowski

Question

Tengo problemas para resolver el siguiente ejercicio, propuesto en "A first course in Algebraic Topology" de Kosniowski, ¡y cualquier ayuda se agradecería!

Consideremos el espacio topológico $X:=(\mathbb{R}, \mathcal{T})$ , donde $\mathcal{T}=\{\emptyset\}\cup \{\mathbb{R}\} \cup \{(-\infty, t):t \in \mathbb{R}\}$ . Demostrar que una función $f: X \to X$ es continua si y sólo si es no decreciente (es decir, si $x > x'$ entonces $f(x)\ge f(x')$ ) y continua a la derecha (es decir, $\forall x \in \mathbb{R}$ y todos $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ de manera que si $x' \in [x, x + \delta)$ entonces $|f(x) - f(x')| < \epsilon$ ).

Answer 1

CONSEJOS: Deja que $f:X\to X$ sea una función. Tienes que demostrar tres cosas:

1. Si $f$ es continua, entonces $f$ es no decreciente.
2. Si $f$ es continua, entonces $f$ es continua a la derecha.
3. Si $f$ es no decreciente y continua por la derecha, entonces $f$ es continua.

(2) es trivial, así que realmente se reduce a demostrar (1) y (3).

(1) es el tipo de afirmación que casi pide que se demuestre por contradicción o demostrando el contrapositivo, así que supongamos que $f$ no es decreciente. Entonces hay $x,y\in\Bbb R$ tal que $x<y$ y $f(x)>f(y)$ y nos gustaría utilizar $x$ y $y$ de alguna manera para demostrar que $f$ no es continua. Sea $u\in\big(f(y),f(x)\big)$ y que $U=(\leftarrow,u)$ . $U$ es un nbhd abierto de $f(y)$ es $f^{-1}[U]$ ¿abierto?

Para (3) parece factible una demostración directa, así que supongamos que $f$ es no decreciente y continua por la derecha. Sea $U$ sea cualquier subconjunto abierto de $X$ necesitamos demostrar que $f^{-1}[U]$ está abierto. Esto es trivial si $U=\varnothing$ o $U=\Bbb R$ Así que también podríamos suponer que $U=(\leftarrow,u)$ para algunos $u\in\Bbb R$ .

• Demuestre que si $f(x)\in U$ entonces $(\leftarrow,x]\subseteq f^{-1}[U]$ Esto utiliza el hecho de que $f$ es no decreciente.
• Concluir que $f^{-1}[U]=X$ o $f^{-1}[U]$ está acotado por encima. En este último caso, dejemos que $v=\sup f^{-1}[U]$ . Claramente $f^{-1}[U]$ debe ser entonces igual al rayo abierto $(\leftarrow,v)$ o al rayo cerrado $(\leftarrow,v]$ . Utiliza la continuidad derecha de $f$ para demostrar que $f^{-1}[U]=(\leftarrow,v)$ .