Entero función tal que $|f(z)| = 1$ en la línea verdadera

Question

Deje $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ ser toda una función tal que $|f(z)| = 1$ todos los $z \in \mathbb{R}$. El problema es demostrar que el $f$ no desaparecen en $\mathbb{C}$.

Aquí está mi intento: tenga en cuenta que $1/\overline{f(\overline{z})}$ es holomorphic en el conjunto abierto $U = \{z \in \mathbb{C}: f(\overline{z}) \neq 0\}$. Además, para $z \in\mathbb{R}$, $1/\overline{f(\overline{z})} = 1/\overline{f(z)} = f(z)$. Desde $f$ es holomorphic en $U$, $1/\overline{f(\overline{z})} = f(z)$ para todos los $z \in U$. Por lo tanto $1/\overline{f(\overline{z})}$ se extiende a toda la función.

Para$z \not\in U$,$f(\overline{z}) = 0$. Desde ceros aislados, existe una secuencia $z_{n} \in U$ tal que $z_{n} \rightarrow z$. A continuación,$f(\overline{z_{n}}) \rightarrow f(\overline{z}) = 0$.

¿Esto implica que $1/\overline{f(\overline{z_{n}})} \rightarrow \infty$$n \rightarrow \infty$? Más específicamente, es la función de $F(z)$ definido por $$F(z) = \begin{cases}1/\overline{f(\overline{z})} & \text{ if } z \in U\\f(z) & \text{ if }z \not\in U\end{cases}$$ todo?

Answer 1

Había solucionado esto antes de lo que crees.

Desde $f$ es holomorfa en $U$, $1/\overline{f(\overline{z})} = f(z)$ % todos $z \in U$. Así $1/\overline{f(\overline{z})}$ se extiende a una función entera.

... un nonvanishing toda función, puesto que el numerador es distinto de cero (el denominador es continuo, para no ir hasta el infinito en cualquier lugar). Y esta función es $f$, como ya se ha visto.

Answer 2

Creo que la prueba puede reformularse más eficientemente como sigue. $f$ Es todo, así que es $z\mapsto\overline{f(\bar z)}$ y por lo tanto es así que el % de producto $z\mapsto f(z)\overline{f(\bar z)}$. La hipótesis de que $|f(z)|=1$ % real todo $z$implica que este producto es idénticamente $1$ en el eje real. Por lo tanto el producto es idénticamente $1$ en todas partes por permanencia de ecuaciones funcionales. Pero entonces $f$ no puede desaparecer en cualquier $z$ ya que eso haría que el producto desaparezca en que $z$.