¿Por qué interesa la reducción mod p de curvas modulares y variedades Shimura?

Question

¿Por qué interesa la reducción mod p de curvas modulares y variedades Shimura?

En un artículo me enteré de que esto se puede utilizar para demostrar la relación Eichler-Shimura, que a su vez demuestra la conjetura de Hasse-Weil para curvas modulares. ¿Existen aplicaciones similares para las variedades de Shimura?

Answer 1

La respuesta de Kevin explica muy bien la función del mod. $p$ reducción en la teoría de representaciones de Galois y formas automórficas. En esta respuesta intentaré decir algo un poco más técnico sobre una manera de entender el mod $p$ reducción de curvas modulares puede aplicarse en aritmética. La aplicación concreta que trataré es la de construir congruencias de formas modulares.

Si $f$ es una eigenforma de Hecke (de peso 2, para fijar ideas), entonces asociada a $f$ es una representación de Galois $\rho_f:G_{\mathbb Q} \to GL_2(\overline{\mathbb Q}_{\ell})$ (para cualquier primo $\ell$ ). Digamos que el nivel de $f$ es igual a $N p$ donde $p$ es un primo no divisor de $N$ . Uno puede preguntarse: ¿existe una forma propia $g$ de nivel $N$ tal que $f \equiv g \bmod \ell$ . (Aquí congruencia significa congruencia en $q$ -expansiones). Esta es la cuestión que Ribet resolvió en su famoso artículo Inventiones 100 (el artículo que redujo la FLT a Shimura--Taniyama).

Tenga en cuenta que $p$ no está en el nivel de $g$ la representación $\rho_g$ será unramified localmente en $p$ . (Esto viene de saber que la curva modular de nivel $N$ tiene una buena reducción en $p$ ya que $p$ no divide $N$ --- una primera aplicación de la teoría de reducción de curvas modulares). (Si $p = \ell$ aquí hay que tener más cuidado, pero suprimiré este punto.)

Así, si $f \equiv g \bmod \ell,$ para que $\rho_f$ y $\rho_g$ coinciden mod $\ell$ , vemos que $\rho_f$ cuando se reduce mod $\ell$ debe ser unramificado en $p$ . Así que esto es una condición necesaria para la existencia de $g$ .

Resulta (y Ribet lo demostró) que (bajo algunas hipótesis técnicas adicionales) este condición necesaria es también suficiente. El argumento es el siguiente la curva modular de nivel $N p$ tiene reducción singular semiestable: son dos curvas suaves (procedentes del nivel $N$ ) se cruzan entre sí un montón de veces (esta es la contribución del $p$ -parte del nivel). Ahora el mod $\ell$ Representación de Galois $\overline{\rho}_f$ (la reducción de $\rho_f$ mod $\ell$ ) se construye a partir de la página $\ell$ -del grupo de Picard de esta curva singular. Puesto que es unramificado en $p$ no puede explicarse enteramente por las singularidades; alguna parte de ella debe provenir de las curvas suaves, que son de nivel $N$ . (Si se quiere, se trata de una aplicación de cierta forma del criterio de Neron--Ogg--Shafarevic). Las relaciones Eichler--Shimura muestran que el sistema de valores propios de Hecke unido a $f$ cuando se reduce mod $\ell$ debe surgir en el nivel $N$ En otras palabras es una forma propia $g$ de nivel $N$ que es congruente con $f$ mod $\ell$ .

Éste es sólo un argumento típico que utiliza un conocimiento detallado de la reducción buena y mala de las curvas modulares en diversas situaciones. Dado que la representación de Galois adjunta a las formas modulares se construye geométricamente a partir de las curvas modulares, las herramientas como el criterio Neron--Ogg--Shafarevic, y sus variantes, muestran que hay muy estrechas entre las propiedades locales de las representaciones de Galois en un primo $p$ , y las propiedades de reducción de las curvas modulares mod $p$ .

Answer 2

La relación Eichler-Shimura no sólo demuestra la conjetura Hasse-Weil para curvas modulares. Por ejemplo, adjunta representaciones de Galois a formas modulares de peso 2. Con argumentos más delicados (utilizando cohomología etale con coeficientes no constantes, maquinaria de la que no disponía Shimura) se obtienen representaciones de Galois de formas modulares de mayor peso. Estas ideas han tenido muchas aplicaciones (por ejemplo, con el tiempo demostraron la FLT). En resumen: calcular la reducción mod p de curvas modulares no es sólo para Hasse-Weil.

Hacer lo mismo para las variedades Shimura es técnicamente mucho más difícil porque uno se encuentra con problemas tanto geométricos como automórficos. Pero el resultado, en cierto sentido, es el mismo: si se pueden resolver estas cuestiones (lo que se puede hacer, por ejemplo, con muchas variedades Shimura unitarias hoy en día, pero de ninguna manera con todas las variedades Shimura) entonces se puede esperar adjuntar representaciones de Galois a formas automórficas en otros grupos reductores, y también calcular la función L de la variedad Shimura en términos de formas automórficas.

¿Por qué querría uno hacer estas cosas? Permítanme que empiece por asociar las repeticiones de Galois a las autoformas. Este tipo de ideas son las que se han utilizado recientemente para demostrar la conjetura de Sato-Tate. Se sabía lo suficiente sobre las funciones L adjuntas a formas automórficas en grupos unitarios como para resolver las cuestiones analíticas, así que la cuestión principal era comprobar que las potencias simétricas de las representaciones de Galois adjuntas a una curva elíptica aparecían todas en la cohomología de las variedades de Shimura. Analizar la reducción mod p de estas variedades era sólo una de las muchas cosas que había que hacer para demostrarlo (aunque no era ni mucho menos el paso más difícil: las principales cuestiones técnicas estaban, supongo, en "demostrar los teoremas R=T", de forma similar al paso final de la demostración FLT que es un teorema R=T; las ideas de la función L vinieron antes).

Pero para responder a tu pregunta original, sí: si estás en la situación en la que entiendes la cohomología de la variedad Shimura lo suficientemente bien, entonces analizar la reducción de la variedad te dirá hechos no triviales sobre la función L de la variedad Shimura. Nótese, sin embargo, que el enlace no es completamente formal. La reducción mod p de las variedades sólo proporciona una "relación Eichler-Shimura" y, por tanto, un polinomio que aniquilará el elemento de Frobenius que actúa sobre la cohomología etale. Para entender la función L es necesario conocer el polinomio característico completo de este elemento de Frobenius. Para GL_2 se tiene la suerte de que el polinomio E-S es el polinomio característico, simplemente porque no hay espacio suficiente para que sea de otra manera. Este tipo de argumento se rompe en dimensiones más altas. Por lo que yo sé, estas cuestiones siguen muy abiertas para la mayoría de las variedades Shimura.

Así que, en resumen, para variedades Shimura generales, todavía se puede esperar una relación Eichler-Shimura, pero en realidad no se podría calcular la función L en términos de formas automórficas como consecuencia.