Encontrar el polinomio mínimo de $w+w^{-1}$ $w$ es primitivo nth raíz de la unidad

Question

Sea $w$ primitivo nth raíz de la unidad $\mathbb{Q}$. Encontrar el polinomio mínimo de $w+w^{-1}$ $\mathbb{Q}$

Answer 1

Lo que sucede aquí es similar a lo que sucede con el polinomio $M_w$ de $w$ : no hay una fórmula general, las respuestas depende de la prime factorización de $n$ (por ejemplo, su grado es $\phi(n)$). En general, sólo sabemos que $M_w$ divide $X^{n-1}+X^{n-2}+\ldots +1$, e $M_w$ coincide con este polinomio se al $n$ es primo.

Del mismo modo, si $n$ es extraño decir $n=2m+1$, podemos definir

$$ T_m=\Bigg(\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} \binom{m-j}{j} (-1)^j x^{m-2j}\Bigg) + \Bigg(\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor} \binom{m-1-j}{j} (-1)^j x^{m-1-2j}\Bigg) \etiqueta{1} $$

Entonces, tenemos la identidad algebraica

$$ T_m\bigg(w+\frac{1}{w}\bigg)=\frac{1}{w^m}\sum_{i=0}^{2m} w^i \etiqueta{2} $$

lo que muestra que $T_m$ aniquila $v=w+\frac{1}{w}$, por lo que el mínimo polinomio $M_v$ $v$ divide $T_m$. Al $n$ es un extraño el primer contamos $M_v=T_m$.

Answer 2

El polinomio mínimo satisfecho por $w$ es palindrómico. La sustitución $z=w+w^{-1}$ es un método estándar de tratamiento de tales polinomios, ya que divide el grado del polinomio a la mitad. Ver polinomios palindrómico.