Montaña rusa por una curva de Bezier

Question

Digamos que tenemos la siguiente curva de Bezier:

$$x(t)=110t^3-120t^2+60t$$ $$y(t)=100t^3-150t^2+50$$ $$Where \quad 0 \leq t \leq 1$$

Esta curva traza la forma de la pista de la montaña rusa. Suponiendo que no hay fuerzas de fricción actuando en la montaña rusa, sólo la gravedad, ¿cómo se podría encontrar una ecuación que modele el movimiento de la montaña rusa en dicha función con respecto al tiempo?

Aquí está mi método (que no funcionó):

Así que empiezo con la ecuación para la aceleración en una pendiente. Luego diferencio la curva de Bezier para encontrar la pendiente en cualquier punto de la función.

$$a=g \sin { \theta }$$

$$ \theta = \tan ^{-1}{ \left | \frac {dy}{dx} \right |} = \tan ^{-1}{ \left | \frac { \frac {dy}{dt}}{ \frac {dx}{dt}} \right |}$$

$$= \tan ^{-1}{ \left | \frac {300t^2-300t}{330t^2-240t+60} \right |}$$

$$ \therefore \theta = \tan ^{-1}{ \left | \frac {10t^2-10t}{11t^2-8t+2} \right |}$$

Así que esta expresión para $ \theta $ debe dar el ángulo instantáneo de la pendiente en cualquier punto de la curva. Ahora sustituyendo esta expresión por theta dentro de $a=g \sin { \theta }$ .

$$a(t)=g \sin { \left | \frac {10t^2-10t}{11t^2-8t+2} \right |}$$

Aquí es donde estoy atrapado. Entiendo que la ecuación anterior no es con respecto a "real" tiempo. La curva bezier simplemente traza la forma general de la pista y no es una función de desplazamiento con respecto al tiempo.

Entonces, ¿cómo se podría generar una función que modelara la aceleración, y por lo tanto la velocidad y el desplazamiento, con respecto al tiempo? Juro que debería haber una forma simplista de hacerlo.

¡Gracias!

Answer 1

Dado que nuestra curva $\gamma$ se da en términos de algún parámetro arbitrario $t$ expresaremos "todo" en términos de este $t$ en particular el "tiempo real". $\tau=\tau(t)$ . Sea $v$ sea la "velocidad física", es decir, la velocidad con respecto a $\tau$ de la montaña rusa. A continuación, $$v(t)={ds\over d\tau}={s'(t)\over \tau'(t)}\ ,\tag{1}$$ mediante $$s'(t)=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}$$ es la derivada de la función de longitud de arco $t\mapsto s(t)$ a lo largo de $\gamma$ . Por otra parte, la conservación de la energía implica $${m\over2} v^2(t)=mg\bigl(50-y(t)\bigr)\ ,$$ de modo que tenemos $$v(t)=\sqrt{2g\bigl(50-y(t)\bigr)}\ .\tag{2}$$ Introducir esto en $(1)$ obtenemos la siguiente fórmula explícita para la función desconocida $t\mapsto\tau(t)$ : $$\tau'(t)=\sqrt{\strut x'^2(t)+y'^2(t)\over2g\bigl(50-y(t)\bigr)}\qquad(0\leq t\leq 1)\ .$$ No creo que se pueda expresar $\tau(t)$ en términos elementales. Si sólo estás interesado en la "velocidad física" del coche en varios puntos de la pista puedes utilizar $(2)$ directamente.