Integrar linealmente

Question

Me encontré con esta pregunta y sólo quiere asegurarse de que mi entendimiento es correcto.

Necesito encontrar la solución general de:

$$ \frac{dx}{dt} = (1 - x) $$

En este caso, estoy averiguando cómo $x$ cambia con respecto a los $t$ así que estoy integrando con respecto a los $t$. ¿Significa que la respuesta es $at - xat + C$?

Gracias :)

Answer 1

No se puede decir que, simplemente porque la función $x$ tiene una dependencia en $t$!

Answer 2

Si le dan, por el $x=x(t)$ % $ $$\frac{dx}{dt} = a(1-x)$

Entonces, uno puede volver a arreglar (por abuso de notación), dar\begin{align} \frac{dx}{1-x} &= a\, dt \ \implies \int \left(\frac{1}{1-x}\right)dx &= a \int dt \end {Alinee el} el lado derecho es sencillo para usted, la izquierda requiere de algunos conocimientos de integrales estándar.

¿Esto ayuda?

Answer 3

Se debe escribir

$$\frac{dx}{1-x}=a dt$$

Answer 4

Si se escribe como $dx = a(1-x)dt$, entonces sería correcto para integrar las $x$ con respecto al $t$. El problema es que, para llevar a cabo la integración correctamente, usted necesita saber lo que la dependencia de la $x$ $t$ es, que es lo que estamos tratando de averiguar en primer lugar. A ver cuál es el problema con $\int xdt =xt+C$ es, considerar cualquier función, por ejemplo,$x=t$. Si sustituimos $t$ $x$ antes de la integración, obtenemos $\int tdt =\frac {t^2}2+C$. Pero si utilizamos $\int xdt =xt+C$, y el sustituto de $t$ $x$ después, llegamos $\int xdt =t^2+C$, que es por un factor de 2. O si $x = \sin(t)$, entonces tendríamos $\int \sin(t)dt=t\sin(t)+C$ en lugar de $\int \sin(t)dt = \cos(t)+C$. Si tuviéramos que $\int f(t)dt =tf(t)+C$, lo que haría que todo el concepto de un integrante más bien trivial; la integral de cualquier función sería que la función de los tiempos de la variable independiente. La identidad de $\int xdt=xt+C$ sólo funciona si $x$ no dependen $t$. Recuerde, una integral puede interpretarse como el área bajo una curva. Si $x$ es una constante, entonces sólo tenemos un rectángulo con ancho de $t$ y la altura de la $x$, por lo que el área es $xt$. Pero si $x$ es variable con la $t$, entonces no podemos tomar el valor de $x$ al final del intervalo de tiempo; claramente el área que va a depender de lo $x$ está haciendo en el medio.

Tenga en cuenta que si usted familiarizarse con básicos de formas diferenciales, usted debe llegar a un punto en el que reconocer que cuando la derivada es proporcional al valor de la función, tiene una función exponencial. En este caso, la ecuación diferencial es modificado por un término constante. Así que si usted toma la prueba de solución de $x = c_1e^{c_2t}+c_3$, para resolver la derivada en términos de $c_1$, $c_2$, y $c_3$, y, a continuación, enchufe de que en la ecuación diferencial, entonces usted puede resolver para $c_1$, $c_2$, y $c_3$. Tenga en cuenta que un grado de libertad seguirá siendo, ya que este es un primer orden de la ecuación y no un estado inicial dado.