El software de química cuántica suele aprovechar las simetrías moleculares para acelerar los cálculos. Para ello necesitan alguna forma de determinar el grupo de puntos para un conjunto dado de átomos y sus coordenadas. Así que esto es básicamente lo que usted está preguntando, sólo que obtener algo como $D_{4h}$ en lugar de "plano cuadrado", o $T_d$ en lugar de "tetraédrica".
No estoy seguro de que el software mencionado lo utilice realmente, pero es bastante sencillo y eficaz si sólo se quiere comprobar determinados grupos de puntos:
- Cada operación de simetría puede representarse como una $3\times 3$ matriz, por ejemplo el reflejo en el $xy$ el avión es
\begin {Ecuación} \sigma_ {xy} = \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end {pmatrix} \end {Ecuación}
- Podemos representar las coordenadas del átomo en un $3\times N$ matriz, donde $N$ es el número de átomos. La molécula debe estar correctamente orientada (el centro de masa debe estar en el origen del sistema de coordenadas y los ejes principales de inercia deben coincidir con el $x$ , $y$ y $z$ ejes). Por ejemplo $\ce{H2}$ (o cualquier otro diatómico homonuclear):
\begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & -1 \end {pmatrix}
- Para obtener las coordenadas transformadas según una determinada operación de simetría, basta con aplicar la matriz de la operación de simetría a la matriz de coordenadas.
\begin {Ecuación} \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & -1 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & -1 \end {pmatrix} \end {Ecuación}
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A continuación, podemos comparar el conjunto de coordenadas resultante con el original. Dado que para $\ce{H2}$ ambos átomos son iguales, podemos intercambiar las 2 columnas y ver, que tenemos matrices idénticas. Por lo tanto, $\sigma_{xy}$ es un elemento de simetría válido de nuestras coordenadas de entrada. En este punto se puede implementar un umbral de tolerancia, permitiendo que la norma (distancia) entre dos puntos "iguales" sea mayor que 0.
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El conjunto de operaciones de simetría encontradas nos dará entonces directamente el grupo de puntos de esa molécula (esta información está disponible en las tablas de caracteres). Así que podemos comprobar un determinado grupo de puntos comprobando si las operaciones de simetría de ese grupo de puntos se pueden encontrar en nuestra geometría de entrada. Sin embargo, esto significa que tenemos que definir qué grupos de puntos queremos comprobar.
También existen diagramas de flujo (disponibles en libros sobre simetría molecular o a través de su motor de búsqueda favorito), que le indican qué elementos de simetría debe comprobar y le guían hasta el grupo de puntos.
No conozco un enfoque más general. Si alguien sabe más, por favor, amplíe.
