Detalle de la evaluación Integral en Szabo (apéndice)

Question

Este es un paso del Apéndice a Szabo y Ostlund de la Química Cuántica. En definitiva, la pregunta es ¿cómo llegar desde \ref{A. 20} a \ref{A. 21}. Podemos factor de algunas constantes $K$ en las expresiones para obtener:

\begin{align} (A| -Z_C/r_{1C} |B) &= K \left(\frac{1}{2\pi^2}\right) \int \mathrm{d}\mathbf{k} \; e^{-k^2/4p} k^{-2} \exp\big(-i\,\mathbf{k}\cdot(\mathbf{R}_P - \mathbf{R}_C)\big) \tag{A.20}\label{A.20}\\ &= K \left(\frac{2}{\pi|\mathbf{R}_P-\mathbf{R}_C|}\right) \int\limits_0^\infty \mathrm{d}k \; e^{-k^2/4p} k^{-1} \sin(k|\mathbf{R}_P-\mathbf{R}_C|) \tag{A.21}\label{A.21} \end{align}

Parte de la nota, entre estos pasos es que (parafraseando) que nos puede dejar a $\mathbf{R}_P-\mathbf{R}_C$ mentira en la $z$-eje y el uso que $k\cdot (\mathbf{R}_P-\mathbf{R}_C)= k|\mathbf{R}_P-\mathbf{R}_C|\cos\theta$, "entonces podemos realizar fácilmente la parte angular de la integración de más de $\boldsymbol{k}$ a obtener [\ref{A. 21}]."

Lo que he hecho: parece que la fórmula de Euler se debe aplicar para el segundo exponente en \ref{A. 20} pero el uso de la sugerencia tendríamos algo como $$\cos(k|\mathbf{R}_P-\mathbf{R}_C|\cos\theta) + i\sin \dots \text{etc}. \tag{???}$$ Supongo que la condición sine en \ref{A. 21} de la siguiente manera la integración de la (real) coseno de Euler de expansión. En esta línea, \ref{A. 21} se multiplica por un factor de $2\pi$.

Voy a seguir en esto, pero creo que si me desconcierta, entonces otros pueden tropezó con ella así que estoy publicando.
Esperemos que la eliminación de los factores comunes ($K$) lo hace más fácil de leer, pero el problema está en las páginas 413-414 de Szabo y Ostlunds libro.

Answer 1

Como ya se ha comentado, hay que hacer notar que la integral (A. 20) se toma sobre todos los $\mathbf{k}$-espacio, mientras que la integral (A. 21) es unidimensional. El cálculo explícito de esta integral como sigue

$$\begin{align} \int\text{d}\mathbf{k}\,\Psi(k)e^{-i\mathbf{k\cdot r}} &=\int_0^\infty\text{d}k\,k^2\int_0^\pi\text{d}\theta\int_0^{2\pi}\text{d}\varphi\,\sin\theta\Psi(k)e^{-ikr\cos\theta}\\ &= 2\pi\int_0^\infty\text{d}k\,k^2\Psi(k)\int_0^\pi\text{d}\theta\,\sin\theta e^{-ikr\cos\theta}\\ &= 2\pi\int_0^\infty\text{d}k\,k^2\Psi(k)\left[\frac{e^{ikru}}{ikr}\right]_{u=-1}^1\\ &= \frac{4\pi}{r}\int_0^\infty\text{d}k\,k\Psi(k)\sin(kr).\end{align}$$

En la primera igualdad se convierte esta integral de Cartesianas a coordenadas esféricas, en la segunda igualdad hemos evaluar la integral sobre la $\varphi$, en la tercera igualdad se sustituye $u = -\cos\theta$, y en el cuarto la igualdad hacemos uso de la fórmula de Euler para obtener la representación exponencial de $\sin(kr)$.