Si el balón es lanzado con una velocidad inicial $V$ a un ángulo de $\theta$
a la horizontal, la trayectoria de la bola es de $ y \; = \;
> x\tan\theta \tfrac{g}{2V^2}x^2\s^2\theta \; = \; x\tan\theta -
> \tfrac{1}{2a}x^2\s^2\theta $ where $ = \tfrac{V^2}{g}$. A continuación, el
la pelota golpea el suelo de nuevo al $y=0$, lo que sucede cuando $x =
> 2a\sin\theta\cos\theta$.
Continuando con lo que usted dijo
La longitud de la flightpath de la pelota es
$ \begin{align} D(\theta) & = \; \int_0^{2a\sin\theta\cos\theta} \sqrt{1 + (y')^2}\,dx \; = \; \int_0^{2a\sin\theta\cos\theta}\sqrt{1 + \big(\tan\theta - \tfrac{1}{a}x\sec^2\theta\big)^2}\,dx \\ & = \; \frac{1}{a\cos^2\theta} \int_0^{2a\sin\theta\cos\theta}\sqrt{a^2\cos^4\theta + (x - a\sin\theta\cos\theta)^2}\,dx \; = \; \frac{1}{a\cos^2\theta}\int_{-a\sin\theta\cos\theta}^{a\sin\theta\cos\theta}\sqrt{a^2 \cos^4\theta + x^2}\,dx \\ & = \; a\cos^2\theta \int_{-\tan\theta}^{\tan\theta} \sqrt{1+y^2}\,dy \; = \; 2a\cos^2\theta\int_0^\theta \sec^3u\,du \\ & = \; 2a\cos^2\theta \times \tfrac12\left[\tan\theta\sec\theta + \ln(\sec\theta + \tan\theta)\right] \; = \; a\left[\sin\theta + \cos^2\theta\ln(\sec\theta + \tan\theta)\right] \end{align} $
y
$ D'(\theta) \; = \; a\left[\cos\theta + \cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta\ln(\sec\theta+\tan\theta)\right] \; = \; 2a\cos\theta\big[1 - \sin\theta\ln(\sec\theta + \tan\theta)\big] $
Por lo tanto $D(\theta)$ se maximiza cuando se $\sin\theta\ln(\sec\theta+\tan\theta) = 1$ (también hay un mínimo local en a $\theta = \tfrac12\pi$, y un mínimo global en $\theta = 0$). La solución de esta última ecuación numéricamente, obtenemos $\theta = 0.98551473786$ o $\boxed{56.4658^\circ}$.
