Cerrar formulario para una secuencia de integrales que implican la función Gamma

Question

Estoy tratando de encontrar una forma estrecha para estas integrales (con $n\in\mathbb{N}$): $$\int_{0}^{1}\ln(\Gamma(x+1))\cdot x^n \, \text{d}x$ $

Wolfram es capaz de dar una forma cercana para cada valor concreto de n, y el resultado lleva a que efectivamente hay un patrón; sin embargo no encuentra las fórmulas generales para $n\in\mathbb{N}$.

Una integración por parte lo convierte en integrales similares que involucran la función digamma. ¿Crees que hay alguna manera de encontrar una forma estrecha o es una batalla perdida?

Answer 1

Feynman, el truco de la que hace el trabajo. Tenemos $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\psi(s+x)\,dx &=& \log(s),\\ \int_{0}^{1}x\,\psi(s+x)\,dx &=& \log\Gamma(s+1)+\psi^{(-2)}(s)-\psi^{(-2)}(s+1),\\\int_{0}^{1}x^2\,\psi(s+x)\,dx &=&\log\Gamma(s+1)-2\psi^{(-3)}(s)+2\psi^{(-3)}(s+1)-2\psi^{(-2)}(s+1),\\ \int_{0}^{1}x^3\,\psi(s+x)\,dx &=&\log\Gamma(s+1)+6\psi^{(-4)}(s)-6\psi^{(-4)}(s+1)+6\psi^{(-3)}(s+1)-3\psi^{(-2)}(s+1) \end{eqnarray*}$$ etcétera, donde $\int_{0}^{1}\log\Gamma(s+1)\,ds =-1+\frac{1}{2}\log(2\pi)$ sigue a partir de la reflexión de la fórmula y $$ \int_{0}^{1}\psi^{(-2)}(s)\,ds = \log A+\tfrac{1}{4}\log(2\pi), $$ $$ \int_{0}^{1}\psi^{(-2)}(s+1)\,ds = \log A-\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{4}\log(2\pi), $$ $$ \int_{0}^{1}\psi^{(-3)}(s)\,ds = \tfrac{1}{2}\log A+\tfrac{1}{48}\log(2\pi)+\tfrac{1}{12}\cdot\frac{\zeta(3)}{\zeta(2)}, $$ $$ \int_{0}^{1}\psi^{(-3)}(s+1)\,ds = \tfrac{3}{2}\log A-\tfrac{11}{36}+\tfrac{7}{12}\log(2\pi)+\tfrac{1}{48}\cdot\frac{\zeta(3)}{\zeta(2)} $$

etcétera, donde $A$ es el Glaisher-Kinkelin constante. Resumiendo el dado integrales puede ser expresado en términos de $\zeta$ $\zeta'$ evaluado en $\mathbb{N}\setminus\{1\}$, es decir, en términos de las integrales de $\int_{0}^{+\infty}\frac{x^s}{e^x-1}\,dx$$\int_{0}^{+\infty}\frac{x^s\log(x)}{e^x-1}\,dx$. Esta es también una consecuencia de Binet la primera $\log\Gamma$ la fórmula y del teorema de Fubini.

Otra manera es para expresar $x^n$ en términos de los polinomios de Bernoulli, para luego explotar el Malmsten-Kummer serie de Fourier de $\log\Gamma$. Esta es probablemente la manera más eficiente.

Ninguna batalla está perdida con suficientes armas en el arsenal :D

Answer 2

$$S_n=\int_{0}^{1}x^n\ln(\Gamma(x+1))\text{d}x$$ Como ya se ha mencionado la integral es una suma finita de polygamma funciones, lo cual no es muy emocionante.

Series infinitas son de interés, pero no de una forma cerrada :

$$\ln(\Gamma(x+1))=\ln(x\Gamma(x))=ln(x)+\ln(\Gamma(x))$$ $$\ln(\Gamma(x))=-\ln(x)-\gamma x+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \zeta(k+2)x^{k+2}}{(k+2)}$$ http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogGamma/06/01/02/01/ $$S_n=\int_{0}^{1} x^n\left(-\gamma x+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \zeta(k+2)x^{k+2}}{(k+2)}\right)\text{d}x$$ $$S_n=-\frac{\gamma}{n+1} +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \zeta(k+2)}{(k+2)(k+3+n)}$$ $\gamma$ es el de Euler-Macsheroni constante. $\zeta(n)$ es la de Riemann zeta función.

Para responder a la pregunta, la duda de que cerca de un formulario de hecho de que dispone en la actualidad de funciones especiales existe.