Si , Entonces

Question

Si $f(x) =\frac{1}{3} ( \frac {5}{f(x+2)}+f(x+1))$ y $f(x) > 0$ % todo $x \in \mathbb R$y $\underset{x \to \infty}{\lim}f(x) = ?$

¿alguien por favor me puede dar una pista para encontrarla?

Sé cómo encontrar el límite cuando el límite existe. Pero no tengo ni idea de cómo demostrar su existencia.

Answer 1

Que $\lim_{x\to\infty}f(x)$ existe. Entonces podemos demostrar:

$$\lim{x\to\infty}f(x+1)=\lim{x\to\infty}f(x+2)=\lim_{x\to\infty}f(x)=k$$

Entonces pasando límites a ambos lados de la ecuación obtenemos:

$$k =\frac{1}{3} ( \frac {5}{k}+k)\Leftrightarrow 3k^2=5+k^2 \Leftrightarrow k^2=\frac{5}{2}$$

Desde $f(x)>0$, $k=\lim_{x\to\infty}f(x)>0$ %. Para obtener la solución positiva de los anteriores.