Caracterización de la función continua mediante 2 conjuntos abiertos

Question

Dejemos que $f:\mathbb R\to \mathbb R$ sea la función .
Definir $2$ como A y B en $\mathbb R^2 $ de la siguiente manera:
A={ $(x,y)|y<f(x)$ },B={ $(x,y)|y>f(x)$ } .
Entonces $f$ es continua en $\mathbb R$ si A y B son subconjuntos abiertos de $\mathbb R^2$

$\to $ para mostrar A abierto que significa para cualquier $(a_1,a_2)\in A$ Existen algunos $r>0$ bola que contiene en A .i.e $K=B_r((a_1,a_2))\subset A$
$(m,n)\in K$ Como f es continua en R $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0 $ tal que $\forall x\in R$ $|x-y|<\delta$ entonces $|f(x)-f(y)|<\epsilon$
$f(a_1)>a_2$

No pude conseguir que la idea siguiera adelante para ninguna parte. En realidad, no soy capaz de entender cómo es este conjunto like.and Cómo utilizar continuty suposición
Cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

Toma $(x_a,y_a) \in A$ . Por hipótesis, tiene $y_a < f(x_a)$ . Como $f$ se supone que es continua en $\mathbb R$ existe $\delta > 0$ tal que $\vert f(x) - f(x_a) \vert < \dfrac{f(x_a) - y_a}{2}$ para $\vert x - x_a \vert < \delta$ .

Por lo tanto, $\dfrac{y_a + f(x_a)}{2}< f(x)$ para $\vert x- x_a \vert < \delta$ . Ahora toma $r = \inf\left(\dfrac{f(x_a) - y_a}{2},\delta \right)$

Probemos que el balón abierto $B((x_a,y_a),r)$ se incluye en $A$ .

Para ello, toma $(x,y) \in B((x_a,y_a),r)$ . Por hipótesis, tenemos $$\sqrt{(x-x_a)^2 + (y-y_a)^2} < r$$ lo que implica $\vert x - x_a \vert < \delta$ por lo que $\dfrac{y_a + f(x_a)}{2}< f(x)$ como hemos visto anteriormente. También tenemos $y-y_a < \dfrac{f(x_a) - y_a}{2}$ . Por lo tanto, $y < \dfrac{y_a + f(x_a)}{2}< f(x)$ , lo que demuestra que $(x,y) \in A$ como se desea. Con esto concluye la prueba.

Answer 2

Si $A$ está abierto en $\mathbb R^2$ entonces para cada $y\in\mathbb R$ el conjunto $f^{-1}((y,\infty))=\{x\in\mathbb R\mid y<f(x)\}$ está abierto en $\mathbb R$ .

Si $B$ está abierto en $\mathbb R^2$ entonces para cada $y\in\mathbb R$ el conjunto $f^{-1}((-\infty,y))=\{x\in\mathbb R\mid y>f(x)\}$ está abierto en $\mathbb R$ .

La colección $\{(y,\infty)\mid y\in\mathbb R\}\cup\{(-\infty,y)\mid y\in\mathbb R\}$ es una subbase para la topología (de orden) en $\mathbb R$ por lo que a partir del hecho de que las preimágenes bajo $f$ son todos abiertos se nos permite concluir que $f$ es continua.

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Para el otro lado definir la función $s:\mathbb R^2\to\mathbb R$ por $(x,y)\mapsto x-y$ . Esta función es evidentemente continua. También las proyecciones $\pi_1,\pi_2:\mathbb R^2\to\mathbb R$ son continuos.

Entonces la composición $f\circ\pi_2$ es continua, por lo que también la función $(\pi_1,f\circ\pi_2):\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ es continua.

Ahora dejemos que $h:\mathbb R^2\to\mathbb R$ sea la composición $s\circ(\pi_1,f\circ\pi_2)$ . Como composición de funciones continuas $h$ es continua.

Así que $h^{-1}(0,\infty)$ está abierto.

Tenga en cuenta que $h=s\circ(\pi_1,f\circ\pi_2)$ es en realidad prescrito por $(x,y)\mapsto x-f(y)$ para que $A=h^{-1}(0,\infty)$ .

Tan demostrado está ahora que $A$ es abierto y de forma similar se puede demostrar que $B$ está abierto.