Estoy leyendo el libro de "Superficies en clásicas geometrías" de Jensen. ¿Podría alguien ayudarme a entender por qué $\mathbf{H}(3)$ es diffeomorphic a $\mathbf{SL}\left (2, \mathbf {C} \right) \mathbf{% /SU} $\left (2\right)?
La siguiente es una impresión.
Esto se desprende de la declaración general de que si una mentira grupo $G$ actúa transitivamente sobre un espacio de $X$, y si se les da $x\in X$ definimos $G_x:=\{g\in G \mid gx=x \}$,$X\cong G/G_x$. Esto puede ser visto como una generalización de la órbita-stabalizer teorema, como al $X$ es un conjunto finito y $G$ es un grupo finito, $|G/G_x|=|G|/|G_x|$.
Queremos producir un diffeomorphism entre el$G/G_x$$X$, por lo tanto, debemos empezar por tener un mapa. Tomamos nota de que el mapa de $G/G_x\to X$ envío de $[h]$ $hx$está bien definido, y se puede probar que es suave y bijective. No estoy de inmediato a ver por qué la inversa mapa es suave, pero voy a editar si puedo encontrar/pensar en una explicación sencilla.
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