Es bien sabido que no hay más lenta la convergencia de series infinitas (ver, por ejemplo, aquí).
Pero tampoco hay mayor número racional cuyo cuadrado <=2. Una vez que complete los racionales a los reales, un número que existe.
Mirando el estándar de ejemplos de series que divergen cada vez más lentamente: ${1\over n}, {1 \over {n \ log(n)}}, {1\over{n \ log(n) \ log(log(n))}} ... $ tienes la sensación de que estos se inclinan hacia algo, aunque este algo no es en sí mismo una serie, o no es un límite en el sentido usual de la palabra.
Hay una cierta noción de la finalización del espacio de secuencias infinitas, de modo que algunos de los miembros de la mayor espacio, se encuentra exactamente en la frontera de convergencia y divergencia?
Edit: Una posible forma de hacerlo sería a través de análisis no estándar. Hyperreals son clases de equivalencia de las secuencias, y son totalmente ordenado - es decir, que proporcionan una forma de decir si la secuencia es mayor que el de cualquier otro. Así que uno podría esperar encontrar una "frontera" entre las secuencias, cuya suma converge, y las secuencias cuya suma no converge.
Específicamente, usted sería totalmente no de orden negativo de la serie mediante la comparación de la hyperreals definido por sus sumas parciales $A_n = \sum_{m=1}^n a_m$. Esta orden respecto a la convergencia, en el sentido de que una divergente la serie no podía ser "menos que" una serie convergente, y también respecto a la convergencia de las velocidades, en el sentido de que si $a_n$ sería de menos de $b_n$ si $A_n/B_n \to 0$.
Sin embargo, el hyperreals son no completa, por lo que no hay supremum para el conjunto de secuencias cuya suma converge. Es posible completar, pero entonces la pregunta es qué tipo de objetos son estos completado hyperreals, y podemos obtener cualquier intuición de ellos sobre nuestra pregunta original sobre convergentes y divergentes de la serie.
He encontrado una relacionada con la pregunta anterior. Pero no hay respuesta completa.
