¿Por qué es $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\exp(-(x+n)^2)$ ¿"Casi" constante?

Question

Hice una aproximación numérica de $$\sum_{n=-\infty}^\infty \exp(-(x+n)^2)$$ y comprobó que esta función es "casi" constante ( $\approx 1.772$ ). ¿Por qué la suma fluctúa poco? ¿Existe una forma cerrada para esta suma?

Añadido: desde $f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(-(x+n)^2)$ tiene periodo $1$ y es par, ¿podemos dar un límite superior de $\sup\{ f(x)/f(y) : (x,y)\in [0,0.5]^2\}$ ?

Answer 1

Recordemos el caso general del Fórmula de la suma de Poisson :

$$\sum_{-\infty}^\infty f(x+n) =\sum_{k=-\infty}^\infty e^{2\pi i k x} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i k y}f(y)\,dy$$

Entonces $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i k y}e^{-y^2}\,dy$ es una integral de Gauss, y (omitiendo el tedioso paso de completar el cuadrado) se evalúa como $\sqrt{\pi} e^{ -k^2 \pi^2}$ . Así que

$$\sum_{-\infty}^\infty e^{-(x+n)^2} = \sqrt{\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{2\pi i k x} e^{-k^2 \pi^2}=\sqrt{\pi}+2\sqrt{\pi}\sum_{k=1}^\infty e^{-k^2 \pi^2}\cos 2\pi kx $$

Obsérvese que esto significa que la función tiene un valor medio de $\sqrt\pi$ y que tenemos una torre de correcciones que son cada una exponencialmente menor que la anterior. Por lo tanto, en una muy buena aproximación, podemos tomar la función como $$\sqrt\pi+2\sqrt\pi e^{-\pi^2} \cos 2\pi x$$ con una variación en torno al valor $\sqrt\pi\approx1.77245$ de simplemente $\pm2\sqrt\pi e^{-\pi^2}\approx\pm0.0002$ . Así que la función es muy plana.

Esto también es coherente con la observación de Dmoreno de que la suma es una función theta de Jacobi, ya que el argumento anterior equivale a una prueba de que $\vartheta_3(x;\tau)$ tiene su expansión de Fourier conocida $$\vartheta_3(z,q)=\sum_{-\infty}^\infty q^{n^2}e^{2 i n z}=1+2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2} \cos 2n z$$

para el caso $q=e^{-\pi^2},$ $z=\pi x$ .

Añadido:

Podemos generalizar el cálculo anterior para obtener la suma $$\sum\limits_{-\infty}^\infty \exp\left[-\left(\dfrac{x+n}{a}\right)^2\right] =\sqrt{\pi}|a|\vartheta_3(\pi x,e^{-\pi^2 a^2})=\sqrt{\pi}|a|\left[1+2\sum_{k=1}^\infty e^{-\pi^2 a^2 k^2} \cos(2\pi k x)\right]$$

Obsérvese que si elegimos $a$ sea pequeño, entonces $e^{-a^2 \pi^2}$ (formalmente el nome elíptico $q$ ) no tiene por qué ser pequeño. En ese caso, la aproximación dada anteriormente se rompe. Los casos $a=\pi^{-1}$ y $a=(2\pi)^{-1}$ dan ejemplos sorprendentes, como se aprecia en estos gráficos de WolframAlpha [1] [2] Las sumas definitivamente no son planas.

Para explicar esto en términos menos formales, observe que la suma consiste en un conjunto infinito de gaussianos desplazados $\{e^{-(x+n)/a^2}\}$ . Si $a$ es pequeña, entonces cada gaussiana tiene un pico estrecho y no se solapa mucho con sus vecinas; en consecuencia, la suma de todas ellas da lugar a un "peine" de picos estrechos. Pero si $a$ no es pequeño y $a=1$ es no --entonces cada gaussiana se solapa fuertemente con sus vecinas, y así el "peine" resultante debido a la suma tiene sus huecos mayormente rellenos (es decir, casi planos.)

Answer 2

Bueno, según Mathematica:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\exp(-(x+n)^2) = \sqrt{\pi} \, \vartheta_3(\pi x, e^{-\pi^2}),$$ donde $\vartheta_a(x,q)$ es la función theta elíptica.

Edición: un gráfico del resultado en función de $x$ cuando $x \in {(-10,10)}$ revela un gráfico casi plano.

Answer 3

No estoy seguro de que esta pregunta pueda tener una respuesta concluyente, pero aquí hay algo en lo que pensar.

Denotando la suma por $f(x)$ es fácil demostrar, desplazando la variable de la suma, que $f(x)=f(x+1)$ Es decir, $f$ tiene periodo $1$ . Además, $f(x)=f(-x)$ . Por lo tanto, todos los valores de $f(x)$ están determinados por sus valores en $0\le x\le\frac{1}{2}$ . Como se trata de un intervalo corto, es razonable esperar que los valores de $f(x)$ no variarían mucho, aunque obviamente se podría inventar un ejemplo en el que sí lo hicieran.