¿Primos elípticos?

Question

Dada la serie de los números primos mayores que $9$, los organizamos en cuatro líneas, según su último dígito ($1,3,7$ o $9$). La columna en la que se muestran es el de diez a la que pertenecen, como se ilustra en el siguiente esquema.

Mi conjetura es:

Dados cualesquiera dos números primos, siempre es posible encontrar una elipse cuyos focos coinciden con los dos puntos correspondientes a los números primos en la anterior representación, y que pasa a través de al menos otros dos puntos, correspondientes a los otros dos números primos.

Aquí presento algunos ejemplos, donde el rojo segmentos de conectar los dos focos de cada ilustrativos de la elipse. Lo siento si la imagen es un poco caótica!

Puesto que yo no soy un experto de los números primos, esto puede ser un resultado evidente. En este caso, pido disculpas por la pregunta trivial. De todos modos, he intentado demostrar esta conjetura por medio de las observaciones interesantes relacionados con este post, que está fuertemente relacionado.

Gracias por sus comentarios y sugerencias, también para mejorar la calidad y la exactitud de esta pregunta!

Answer 1

Sólo tenemos que demostrar que hay dos puntos tales que la suma de cada uno de sus distancias a partir de los dos focii es el mismo. La más obvia par son los simétricos con respecto a la línea que une los dos focii, y/o su mediatriz. Por ejemplo, tomando los números primos $(3,7)$$(4,3)$, el de los números primos $(1,3)$ $(6,7)$ satisfacer esta condición.

La intuición es que con el tiempo, dado el número infinito de números primos, uno siempre será capaz de encontrar los pares de números, de manera que se satisfaga esta condición. Sin embargo, soy incapaz de probar esto, así que dudo que sea cierto para los grandes números primos, como primer lagunas significa que se vuelve cada vez más improbable que estos números se pueden encontrar.