Hace un de potencia de la serie se desvanecen en el círculo de convergencia implica que la alimentación de la serie es igual a cero?

Question

Deje $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ ser una potencia de la serie, $a_n, z\in \mathbb{C}$. Supongamos que el radio de convergencia de $f$$1$, e $f$ es convergente en cada punto del círculo unitario.

Pregunta:Si $f(z)=0$ por cada $|z|=1$, entonces podemos llegar a la conclusión de que $a_n=0$ para todo entero no negativo $n$?

Creo que la respuesta es sí, pero no pude probarlo. Mi enfoque es sobre acerca de la función de $F_\lambda(z):=f(\lambda z)$ $0\leq\lambda\leq 1$, $|z|=1$. Abel del teorema muestra que $F_\lambda$ convergen a $F_1$ pointwisely como $\lambda\rightarrow 1$ sobre el círculo unidad. Si me tienen la propiedad de que $f$ está delimitado en la unidad de disco, a continuación, puede aplicar Lebesgue del teorema de convergencia dominada para demostrar $a_0=0$, y por inducción puedo probarlo $a_n=0$ todos los $n$. Sin embargo, no puedo probar $f(z) $ está delimitado en la unidad de disco.

Cualquier respuesta o comentarios son bienvenidos. Yo realmente aprecio su ayuda.

Answer 1

A mí me parece que este es un caso particular de un viejo Teorema de Cantor (1870), llamado Cantor del teorema de unicidad. El teorema dice que si, para cada una de las $x$, $$\lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N}^N c_n e^{inx}=0,$$ entonces todos los números complejos $c_n$'s son cero.

Usted puede buscar en google "la Unicidad de la Representación Trigonométrica de la Serie" para obtener más información. Ver, por ejemplo, este documento para una prueba y un poco de historia de el resultado.