Sé que $\mathbb{P}^2$ que estalla en dos puntos es isomorfo a $\mathbb{P}^1*\mathbb{P}^1$ explotando en un momento dado, así que por qué $\mathbb{P}^2$ que estalla en un punto no es isomorfo a $\mathbb{P}^1*\mathbb{P}^1$ ? y es $\mathbb{P}^2$ que estalla en un punto no isomorfo a $\mathbb{P}^2$ ¿explotar en otro punto? Creo que la respuesta es no, pero no sé por qué.
Respuesta
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chaiwalla
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$\newcommand{\Proj}{\mathbf{P}}$ Supongo que estás trabajando sobre los números complejos.
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Porque el plano proyectivo $\Proj^{2}$ es homogénea, la ampliación de $\Proj^{2}$ en un punto $p$ no depende, hasta el isomorfismo, de la elección de $p$ .
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La explosión de $\Proj^{2}$ en un punto tiene un divisor excepcional con auto-intersección $-1$ . No hay curva en $\Proj^{1} \times \Proj^{1}$ tiene auto-intersección $-1$ .
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Un mapa racional $\Proj^{2} \to \Proj^{1} \times \Proj^{1}$ puede definirse eligiendo dos puntos $p \neq q$ , explotando en $p$ y $q$ y luego soplar la transformación adecuada de la línea $\overline{pq}$ .
Los diagramas de abajo muestran las respectivas superficies con curvas racionales incrustadas y sus números de auto-intersección; los puntos indican los puntos que se amplían. (Se puede pensar en estas imágenes como metafóricas, o como las imágenes literales de los mapas de momentos para la realidad $2$ -acciones de toro. En ese caso, si quieres ser quisquilloso, la arista diagonal en el diagrama superior izquierdo debería tener pendiente $-1$ .)
El mapa racional algebro-geométrico estándar de $\Proj^{1} \times \Proj^{1} \to \Proj^{2}$ debe mencionarse: Consideremos una superficie cuádrica lisa $Q \simeq \Proj^{1} \times \Proj^{1}$ en $\Proj^{3}$ . Elige un punto $q$ de $Q$ y un avión $H \simeq \Proj^{2}$ que no contenga $q$ . Proyección lejos de $q$ define un mapa $Q \setminus\{q\} \to H$ que colapsa dos líneas, las sentencias de $Q$ a través de $q$ y, por lo demás, es biyectiva (ya que cada línea que pasa por $q$ que no es un éxito de la sentencia $Q$ exactamente en otro punto). Este mapa está bien definido en la ampliación de $Q$ en $q$ . Es decir, al inflar la cuádrica en un punto y luego inflar dos puntos se obtiene $H$ .
