¿Por qué usamos solo medio plano superior para hacer la integración de residuos?

Question

En la clase de matemáticas mi profesor me mostró que "cómo utilizar el residuo método de integración?". Y dudo que en casi el último paso que el profesor hizo. él hizo un contorno sobre la mitad superior del plano de planta de conjunto. y yo no sabía que, ¿por qué nos debe centrarse sólo en la mitad superior(que cubrirá los polos en un sólo plano superior e ignorar a la otra en el plano inferior)

Mi pregunta es:

Dudo que ¿por qué usamos sólo la mitad superior del plano complejo para hacer Residuo de la Integración?

Lo que pasó, si yo uso el plano inferior o ambos inferior y superior de avión?

Answer 1

Residuo técnicas a menudo ayudan a uno a resolver impropia (real) de las integrales como: $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$.

Con el fin de aplicar el contorno de las técnicas que uno tiene a su vez este real integral en un complejo de contorno integral. Esto se hace tomando un intervalo simétrico: $[-R,R]$ y la adición de un superior semi-círculo de radio $R$ (centrado en el origen). Entonces como $R \to \infty$ uno quiere que el semi-círculo de la parte que tienden a cero, por lo que en el límite se tiene la integral sobre la $(-\infty,\infty)$ (bueno, en realidad el valor del capital).

Como su medio círculo se hace más grande y más grande que la captura es más y más de la mitad superior del plano, por lo que en el límite, básicamente, se han capturado toda la mitad superior del plano. Así, cuando usted va para el cálculo de la integral de contorno utilizando los residuos, sólo debe considerar los polacos en la mitad superior del plano.

Uno podría fácilmente utilizar la mitad inferior del plano. O si donde hacer una integral de la forma $\int_0^\infty f(x)\,dx$ puedes usar el primer cuadrante.

Hay ocasiones en las que usted puede ser que desee considerar todo el plano, pero ninguno vienen a la mente en este momento.

Answer 2

Esto depende totalmente de la función que se integra. Digamos que usted está tomando la transformada de Fourier:

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, f(x) e^{i k x}$$

Si desea utilizar un contorno integral para evaluar esta integral, entonces su elección de si se utiliza la mitad superior o inferior de avión hace una gran diferencia. Para $k \gt 0$, por ejemplo, la integral de contorno simplemente no convergen en un semicírculo en la mitad inferior del plano como el radio de la semicircunferencia va a $\infty$. Por lo tanto, tendría que usar la mitad superior del plano. El frente va por $k \lt 0$.