¿Cómo calculo el aumento de temperatura en un conductor de cobre?

Question

Si paso corriente a través de un conductor de cobre, ¿cómo puedo calcular qué tan caliente se pondrá el conductor?

Por ejemplo, si tengo una carga de 7.2 kW alimentada por 240VAC, la corriente será de 30A. Si transmito esta potencia a la carga a través de un conductor de cobre de \$2.5mm^2\$, ¿cómo calculo qué tan caliente se pondrá este conductor?

ACTUALIZACIÓN:

A partir de los comentarios y respuestas de Olin y Jason, he creado el siguiente gráfico que muestra los vatios por pie de cable de cobre \$2.5mm^2\$:

Pero, ¿cómo traduzco esto en el aumento real de temperatura? Entiendo que la variable faltante es la tasa de enfriamiento, pero solo necesito tener una idea de cuál es la corriente máxima segura que se puede pasar a través de un cable de cobre de un grosor específico.

Suponiendo una corriente constante, y que no hay enfriamiento en absoluto, ¿cómo calculo los grados de aumento de temperatura por hora por vatio para la longitud de cable de cobre en cuestión?

Answer 1

Únicamente teóricamente sin enfriamiento alguno:
\$ P=I^2*R(T) \$
\$ E(t)=\int{P dt}\$
\$ T=T0+dT \$
\$ dT=\frac{E(t)}{m*C} \$
\$ m=V*densidad \$
\$ V=l*A \$
\$ R(T)=l/A*r(T) \$

Todo lo anterior se puede condensar en una aproximación lineal:
\$ R(T)~=l/A*(r+T*\alpha) -> R(dT)~=l/A*(r0+dT*\alpha) \$

combinando todo esto: \$dT ~= \int{I^2*l/A*(r0+dT*\alpha) dt}/(l*A*densidad*C) = I^2/(A^2*densidad*C)*\int{r0+dT*\alpha dt} \$

si \$ dT*\alpha << r0 \$ entonces \$ dT ~= I^2*r0*dt/(A^2*densidad*C) \$

a menos que haya cometido un error :) y eventualmente se derretiría

I: corriente, R: resistencia, P: potencia, T: temperatura, t: tiempo, E: energía, m: masa, V: volumen, l: longitud, A: área de la sección transversal del alambre, C: capacidad calórica del cobre

Por supuesto, algún tipo de transferencia de calor siempre existe: conducción, convección, radiación. Una buena regla general es permitir 2.5A/mm^2 en un alambre de cobre en una bobina con múltiples capas, 4..5 A/mm^2 para una sola capa (sin aislamiento térmico) y 8..9 A/mm^2 requerirán enfriamiento activo.

Answer 2

El comentario de Olin tiene un buen comienzo en el análisis cuantitativo, pero ten en cuenta que el efecto de un vatio o dos por pie en un alambre de calibre AWG de 18 (aproximadamente 1 mm de diámetro) es bastante diferente de un alambre de calibre 38 (aproximadamente 0.1 mm de diámetro). 2.5mm^2 = aproximadamente 0.89 mm de radio 1.78 mm de diámetro = aproximadamente un alambre de calibre 13 AWG que es bastante grande y un vatio por pie probablemente esté bien, pero veamos:

La página de Wikipedia para AWG = calibre de alambre americano muestra la "ampacidad" (capacidad de corriente) del alambre de cobre del Código Eléctrico Nacional a varias temperaturas para alambre aislado, y el 13AWG (no un producto estándar) está a medio camino entre la clasificación 12AWG de 25A a 60C de aislamiento, y la clasificación 14AWG de 20A a 60C de aislamiento, así que supongo que a 30A se calentaría bastante (probablemente >= 100C a 25C de ambiente) sin enfriamiento por convección.

La página de Wikipedia también enumera la resistencia de cobre de 13AWG como 2 miliohmios por pie, entonces P = 2 miliohmios * 30A^2 = 1.8W/pie; la "clasificación" de 22.5A a 60C de aislamiento clasificado (promedio de clasificaciones vecinas) tiene una disipación de casi 1W/pie.

Answer 3

En tu edición, lo que falta es que la tasa de enfriamiento dependerá de la temperatura. En general, la tasa de enfriamiento aumentará a medida que la temperatura aumente. Cuando la temperatura sube lo suficiente para que la tasa de enfriamiento coincida con la tasa de calentamiento, la temperatura se estabilizará.

Pero la tasa real de enfriamiento es muy difícil de calcular. Depende de con qué otros materiales ha estado en contacto el cobre (enfriamiento conductivo), el flujo de aire alrededor del conductor, etc.

Como complicación adicional, la tasa de calentamiento también dependerá de la temperatura, porque la resistencia del cobre aumentará a temperaturas más altas.

Entonces, sin mucha más información detallada sobre tu conductor y su entorno, realmente no es posible dar una respuesta precisa a tu pregunta inicial, ¿qué tan caliente se pondrá?

En cuanto a la segunda pregunta, ¿qué tan rápido se calentará si no hay enfriamiento, puedes calcularlo a partir de la capacidad calorífica del cobre, que Wikipedia indica como 0.385 J / (g K), o 3.45 J / (cm^3 K).

Answer 4

Aunque esta es una pregunta de hace 7 años, pensé que podría contribuir con el enfoque que encontré inspirado en algunos puntos mencionados en una nota de aplicación de SIEMENS.

Aproximación de la temperatura en estado estacionario de un conductor

$$\Theta_{op}=\Theta_{amb}+\Delta\Theta_{max}\left(\frac{I_{op}}{I_{max}}\right)^2$$

$$I_{max} :\text{corriente continua máxima, } I_{op} :\text{corriente de operación}$$ $$\Theta_{x} :\text{x temperatura, }\Theta_{amb}:\text{ambiente, }\Delta\Theta_{max}:\Theta\text{ aumento @ }I_{max}$$

Corriente operativa máxima continua

Los cables tienen capacidades de corriente llevadora especificadas para operación continua. Diferentes aislamientos de cables permiten diferentes temperaturas operativas máximas. Estas se pueden calcular siguiendo una norma IEC, pero podemos utilizar tanto la hoja de datos de nuestro cable específico o generales para obtener un valor aproximado.

• Especificado aquí, 2 cables de 2.5mm^2 con un núcleo simple aislados con PVC tienen una capacidad de corriente llevadora de 24 Amperios (AC/DC) con la temperatura operativa del conductor a 70°C y una temperatura ambiente de 30°C.

• Especificado en una nota de aplicación de Nexans, 2 cables de 2.5mm^2 con un núcleo simple aislados con XLPE tienen una capacidad de corriente llevadora de 24 Amperios con la temperatura operativa del conductor a 90°C y una temperatura ambiente de 45°C

A partir de estos datos podemos extraer lo siguiente: $$\text{PVC 2.5mm}^2@I_{max}=24A,\Delta\Theta_{max}=40^o\text{C, }\Theta_{op_{max}}\leq 70^oC$$ $$\text{XLPE 2.5mm}^2@I_{max}=24A,\Delta\Theta_{max}=45^o\text{C, }\Theta_{op_{max}}\leq 90^oC$$

Si asumimos que su cable es de XLPE y en el aire con una temperatura ambiente máxima de 25ºC: $$\Theta_{op}=25+45\cdot\left(\frac{30}{24}\right)^2\approx 95.3^oC$$ Esto está por encima de la temperatura operativa máxima del cable aislado con XLPE. Si es el aislado con PVC, el cálculo resulta en >87°C, donde probablemente se derretirá el aislamiento. El PVC a temperaturas superiores a 60°C se vuelve inestable.

---

Comparación con deratings (factores de corrección)

Si comparamos el uso de esta fórmula con los deratings, podemos ver cierta coherencia;

La nota de aplicación indica que para otras temperaturas de aire ambiente, se deben aplicar factores de corrección para las capacidades de corriente máximas:

|Amb ºC| 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
|Factor|1.10|1.05|1.00|0.94|0.88|0.82|0.74|0.67|0.58|0.47|

Entiendo que el objetivo es mantener la temperatura del núcleo por debajo de 90ºC, limitando la corriente máxima.

Partiendo del mismo ejemplo de cable (2 cables de 2.5mm^2 con núcleo simple XLPE), las clasificaciones máximas serían las siguientes:

|Amb ºC| 35 | 40 | 45 | 50  | 55  | 60  | 65  | 70  | 75  | 80  |
|MaxAmp|26.4|25.2|24.0|22.56|21.12|19.68|17.76|16.08|13.92|11.28|

$$\Theta_{op}=\Theta_{amb}+45\cdot\left(\frac{I_{op}}{24}\right)^2\approx \text{temperatura en estado constante en }^oC$$

Las siguientes temperaturas en estado estacionario estimadas son las siguientes

|Amb ºC| 35  | 40  | 45  | 50  | 55  | 60  | 65  | 70  | 75  | 80  |
| Amperios |26.4 |25.2 |24.0 |22.56|21.12|19.68|17.76|16.08|13.92|11.28|
|ssTemp|89.45|89.61|90.00|89.76|89.85|90.26|89.64|90.20|90.14|89.94|

---

Tiempo requerido para alcanzar la temperatura en estado estacionario

Se puede estimar cuánto tiempo tomará alcanzar esta temperatura considerando la clasificación de corriente de cortocircuito del cable. Buscándolo en las tablas, 2.5mm^2 @ 1 segundo de cortocircuito = 358 Amperios.

La transición de calentamiento del cable sigue aproximadamente la siguiente ecuación:

$$\Theta_{op}=\Theta_{amb}+\Delta\Theta_{ss-amb}\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)$$

$$\tau\text{ (min)}=\frac{1}{60}\cdot\left|\frac{I_{1s-short}}{I_{max}}\right|^2=\frac{1}{60}\cdot\left|\frac{358}{24}\right|^2\approx 3.7\text{min}$$

\tau define el tiempo que se requiere para alcanzar el 63% de la temperatura final. Normalmente estimamos que a 5*\tau estamos alrededor del 99% de la temperatura final. 5*3.7 min = 18.5 minutos.

$$\tau \text{ es válido para alcanzar cualquier condición de estado estacionario calculada}$$

$$\text{Tiempo para alcanzar cualquier temperatura de estado estacionario} \approx 5\cdot\tau \approx 18.5\text{min}$$

$$\Delta\Theta_{ss-amb} = \Theta_{estado estacionario}-\Theta_{amb}$$

Si graficamos esto se vería de la siguiente manera:

---

demonstración aproximada/estimada

Nuestro \tau calculado fue con los valores: Temperatura ambiente 45ºC, temperatura operativa = 90ºC. \Delta T = 45ºC. I_max = 24 Amperios

La disipación de energía sigue una regla cuadrática, P=I^2*R , podríamos extrapolar diciendo que la tasa de aumento de temperatura sigue una regla cuadrática similar. $$K_{\tau}\approx\left(\frac{I_{ref}}{I_{op}}\right)^2 = \left(\frac{24}{30}\right)^2 = 0.64$$

pero nuestro \Delta T (aumento de temperatura) calculado es de 70ºC versus 45ºC. $$K_{\Delta\Theta}\approx\frac{\Delta\Theta_{op}}{\Delta\Theta_{ref}} = \frac{70}{45} \approx 1.5556$$

aplicando esto a nuestro \tau como sigue nos daría $$\tau_{op}=\tau_{ref}\cdot K_{\tau} \cdot K_{\Delta\Theta}=3.7\cdot 0.64\cdot 1.5556=3.68 \leadsto 5\tau = 18.4\text{ min}$$

Tenga en cuenta que estas fórmulas para la demostración de un \tau modificado fueron inventadas "de la nada", por "sentimiento", por algunas consideraciones "lógicas". Esto podría estar completamente equivocado, y si he hecho una suposición "loca", por favor avíseme para poder aprender de mi error. Algún día haré algunas mediciones para probar esto.

---

Recursos

• Protección de Sobrecarga Térmica de Cables
  • Página 47 en Siemens PTD EA - Aplicaciones para Relés de Protección SIPROTEC 2005
• Recurso de Mega Kabel A,B, C
• MyElectrical Notas sobre IEC60287
• Hoja Técnica de Nexans

Answer 5

Alejándose del cálculo puro, simplemente mire la clasificación de los fabricantes. La mayoría de los cables están limitados por el material de aislamiento ya que se derrite mucho antes que el cable, causando un fallo catastrófico.

Piense en un alambre de fusible. Un alambre de fusible de 30 A es muy delgado y mucho más delgado que el cableado en propiedad. ¿Cuál es la diferencia? el alambre de fusible puede calentarse ya que no hay aislamiento y quieres que se rompa en consecuencia. Los cables de distribución están clasificados teniendo en cuenta una multitud de condiciones de operación (tipo de montaje, material de aislamiento, número de núcleos, etc). Todos los fabricantes proporcionarán orientación sobre la clasificación y la desclasificación (dependiendo del método de instalación y otros factores) de sus cables. A menos que esté utilizando barras de bus de cobre expuestas, cualquier cálculo no vale realmente la pena, la capacidad de cobre está muy por encima de la capacidad del cable. Por ejemplo, un alambre de fusible de 30 A es solo de 0,4 mm^2 pero no conectarías la caldera con eso. (por cierto, un alambre de fusible de 30 A necesita aproximadamente 170 A para romperse en 1 segundo, incluso si aumentas el tiempo de ruptura permisible a 5 segundos, todavía son 125 A para que el alambre se queme (¡todo a partir de un alambre de 0,4 mm^2!))