Serie de composición

Question

Deje que $G$ ser el grupo dado por el conjunto de matrices invertibles de la forma \begin {bmatrix} a y b y c \\0 y d y e \\0 & 0 & f \end con $a,b,c,d,e,f \in \mathbb Z_3$ .

Encuentra la longitud de la composición de $G$ y sus factores de composición en términos de grupos conocidos, especificando qué grupos se producen como factores de composición y cuántas veces se produce cada uno en la serie de composición.

Intento: También sé que el subconjunto $N$ de $G$ de matrices donde $a=d=f=1$ a lo largo de la diagonal es un subgrupo normal de $G$ que el centro de $N$ , $Z(N)$ es \begin 1 y 0 y c \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end y que $G$ es soluble. ¿Puedo usar esta información para responder a la pregunta?

Answer 1

Pista: Mediante un cálculo directo se puede demostrar que $Z(N)$ es también el subgrupo conmutador de $N$ . En particular, $N/Z$ es abeliana, por lo que se reduce a estudiar $G/N$ . Para estudiar esto, busca un mapa $G \to D$ , donde $D$ es el grupo de matrices diagonales. (Si por "serie de composición" se entiende que los cocientes que aparecen deben ser cíclicos, y no sólo abelianos, también habrá que estudiar $D$ y $N/Z$ un poco más de cerca).