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Question

Necesito encontrar el límite $$ \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ sqrt {n ^ 2 + n +1} - \ big \ floor \ sqrt {n ^ 2 + n +1} \ big \ rfloor \ right),$$ where $ n \ in \ mathbb {N} $.

Mi intento . Como entonces $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (n^2+n+1)\approx n^2$.

Entonces$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{n^2+n+1}\approx \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{n^2} = n$ $

Entonces$$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right) = \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right).\left(\sqrt{n^2+n+1}+n\right)}{\left(\sqrt{n^2+n+1}+n\right)}.$ $

Mi pregunta es, ¿mi proceso es correcto O no ?, O ¿hay algún error?

Si no, entonces ¿cómo puedo resolverlo?

Ayuda requerida

Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ n ^ 2 <n ^ 2 + n +1 <n ^ 2 +2n +1 = (n +1) ^ 2, $$ y por lo tanto $$ n <\ sqrt {n ^ 2 + n +1 } <n +1, $$ y por lo tanto$\lfloor\sqrt{n^2+n+1}\rfloor=n$. Por lo tanto, \begin{align} \sqrt{n^2+n+1}-\lfloor\sqrt{n^2+n+1}\rfloor&=\sqrt{n^2+n+1}-n =\frac{\big(\sqrt{n^2+n+1}-n\big)\big(\sqrt{n^2+n+1}+n\big)}{\big(\sqrt{n^2+n+1}+n\big)}\\ &= \frac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}\to\frac{1}{2}, \end{align} como$n\to \infty$.