Operador de Hilbert-Schmidt

Question

Acabamos de cubiertos de Hilbert-Schmidt a los operadores en clase (lo que me perdí) y estoy teniendo un tiempo difícil conseguir mi cabeza alrededor de ellos. Sé que la definición:

Si $H$ es un espacio de Hilbert y $T\in\mathcal{L}(H)$ $T$ es de Hilbert-Schmidt si hay alguna base ortonormales de $H$ tal forma que: $$\sum_n \lVert T(e_n)\rVert^2<\infty$$

Así que estoy un poco inseguro de lo que esto dice sobre el operador? Se esta diciendo que el operador es "limitado suficiente" en cierto sentido, para hacer algo?

Muchas gracias por la ayuda (lo siento por mi confusión y basura pregunta)

Answer 1

• Hilbert-Schmidt operadores son más que limitada, como en el caso del espacio de Hilbert separable son compactos. De hecho, si $\{e_n\}$ es una base ortonormales, y $P_N$ la proyección de más de $\operatorname{Span}\{e_j,1\leqslant j\leqslant N\}$, $\{TP_N\}$ converge en norma a $T$ $TP_N$ es finito en el puesto.

• Hilbert-Schmidt a los operadores de forma ideal el conjunto de los operadores acotados.

• Un interés de Hilbert-Schmidt a los operadores es que puede ser dotado con un producto interior, definiendo $$\langle S,T\rangle_{HS}:=\sum_{j=1}^{+\infty}\langle Se_n,Te_n\rangle.$$

• Se puede demostrar con Bessel de la igualdad que esta no depende de la elección de la base de Hilbert.

  ---

Para las aplicaciones, no sé demasiado. En el contexto de medidas de probabilidad en los subconjuntos de Borel de la topología inducida por un producto interior en el espacio (con una contables de Hilbert), Hilbert-Schmidt a los operadores nos ayudan a caracterizar los conjuntos de medidas de probabilidad que son apretados. En Araujo y Giné el libro de medidas de Probabilidad en espacios de Banach, nos encontramos con el siguiente resultado:

Teorema de 1.4.17. Deje $H$ ser un espacio de Hilbert separable, y $\Gamma$ un conjunto de medidas de probabilidad en el Borel $\sigma$-álgebra de $H$. El conjunto $\Gamma$ tiene un pacto de cierre para los débiles-$^*$ topología si y sólo si para todos los $\varepsilon>0$, podemos encontrar una familia de Hilbert-Schmidt a los operadores en $H$ $\{A_{\mu}^\varepsilon\}_{\mu\in\Gamma}$ tal que para una base de Hilbert $\{e_j\}$, las siguientes propiedades:

1. $\displaystyle\sup_{\mu\in\Gamma}\sum_{j=1}^{+\infty}\lVert A_\mu^\varepsilon(e_j)\rVert^2<\infty$;
2. $\displaystyle\lim_{N\to +\infty}\sup_{\mu\in\Gamma}\sum_{j=N}^{+\infty}\lVert A_\mu^\varepsilon(e_j)\rVert^2=0$;
3. para todos $v\in H$, $\mu\in\Gamma$, $$\left|1-\int_He^{i\langle v,x\rangle_H}d\mu(x)\right|\leqslant \lVert A\mu^{\varepsilon}(v)\rVert+\varepsilon.$$