Demostrar que si $B$ es una matriz antisimétrica con entradas reales, entonces $\det(B+I) \neq 0$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La matriz $B$ satisface $B^T=-B$ ; supongamos que $\det(B+I)=0$ entonces existe $x\ne0$ tal que $(B+I)x=0$ . De ello se desprende que $Bx=-x$ y así $$ x^TBx=-x^Tx $$ Transponer ambos lados, obteniendo $$ x^TB^Tx=-x^Tx $$ y utilizar la hipótesis $B^T=-B$ para obtener una contradicción.
(Se puede hacer sin contradicción, por supuesto).
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¿Qué sabes de los valores propios de $B$ ?
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Si no tienes idea de los valores propios, observa que $x^T B x = 0$ por cada $x$ .
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Lo que no entiendo. Otras preguntas que, al igual que ésta, no muestran ningún esfuerzo propio, son votadas negativamente. ¿Por qué ésta no? No tiene sentido.
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Porque es un buen chico ;)
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Esta pregunta equivale a math.stackexchange.com/questions/1276665/ .