¿Por qué una métrica no da un isomorfismo $TX \cong T^*X$?

Question

Cualquier variedad suave $X$ admite una métrica Riemanniana $g$, y tenemos un mapa $$ TX \to T^*X, \qquad (x, v) \mapsto (x, g(v,-)) $$ que es suave si $g$ lo es. ¿Por qué esto no es un isomorfismo de fibrados vectoriales? Tenemos un mapa suave y lineal que induce un isomorfismo en todas las fibras; ¿no debería ser suficiente?

Por ejemplo, en $X = \mathbb{CP}^1$, tenemos $TX \cong O(-2)$ y $T^*X \cong O(2)$, que no son isomorfos como lo evidencian sus clases de Chern. Quizás simplemente no entiendo la noción de un isomorfismo de fibrados vectoriales.

Answer 1

De hecho, una métrica riemanniana proporciona un isomorfismo entre $TX$ y $T^*X$ como fibrados vectoriales reales. Sin embargo, si $X$ es una variedad compleja, entonces $TX$ también se puede ver como un fibrado vectorial complejo, pero el isomorfismo $TX\cong T^*X$ proporcionado por una métrica riemanniana no es linealmente complejo. Si la métrica es hermítica, entonces el isomorfismo es antilineal complejo. Dado que las métricas hermíticas siempre existen en variedades complejas, siempre es el caso que $T^*X$ es isomorfo linealmente complejo a $\overline{TX}$.