En lo que sigue, dejemos que $(\frac{a}{p})$ denotan el Símbolo de Legendre . Entonces
Demostrar que $$\sum _{a=1}^{p-2} \left(\frac{a(a+1)}{p}\right)=-1$$ para una prima impar $p$ .
Estaba pensando en factorizar $a^2$ pero
Demostrar que $$\sum _{a=1}^{(p-1)/2} \left(\frac{a}{p}\right)=0$$ para un primer $p \equiv 1 \pmod 4$ .
La primera pregunta tiene respuesta en otros posts:
Para la segunda, primero se puede observar que $$\newcommand\jaco[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}\sum_{a=1}^{p-1} \jaco ap = 0,$$ ya que esta suma contiene el mismo número de $1$ y $(-1)$ 's.
Utilizando el hecho de que $$\jaco{p-a}p = \jaco{-a}p = \jaco{-1}p \jaco ap \overset{(*)}= \jaco ap$$ se puede dividir la suma anterior en dos sumas que son iguales entre sí y, por tanto, ambas son cero.
(¿Puede decir por qué la ecuación denotada por $(*)$ sostiene?)
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¿Son residuos cuadráticos?
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Sí son residuos cuadráticos @BeniBogosel
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Sugerencia: Deja que $a^\ast$ sea la inversa de $a$ . Entonces $a(a+1)\equiv a(a+aa^\ast)\pmod{p}$ Así que $(a(a+1)/p)=(a^2((1+a^\ast)/p)=((1+a^\ast)/p)$ .
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Parece interesante ¿puedes ser más explícito @AndréNicolas ¿Cómo se abordan estos?
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Ya hay una respuesta a la primera pregunta, en el lado de las pistas, pero mi respuesta sería sólo una expansión, así que prefiero omitirla. Para la segunda, tenemos que utilizar el hecho de que el primo es de la forma $4k+1$ y por lo tanto $-1$ es un QR. Así, para cualquier $a$ con $1\le a\le \frac{p-1}{2}$ tenemos $(a/p)=((p-a))/p)$ . Así, la suma de los símbolos de Legendre de $1$ a $p-1$ es el doble de la suma de los símbolos de Legendre de $1$ a $\frac{p-1}{2}$ . Pero la suma de los símbolos de Legendre de $1$ a $p-1$ es $0$ (esa fue la pista que se dio).
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Puede encontrar su primera pregunta aquí: math.stackexchange.com/questions/333704/ (y en otros posts enlazados a ese).
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