límites usando$ \epsilon - \delta $ para probar dos funciones variables

Question

Estoy intentando usar el argumento$ \epsilon - \delta $ para probar$\lim_{(x,y) \rightarrow (1.1)} \frac{2xy}{x^2+y^2} =1$. Sé que necesito mostrar que$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0$ st para todos (x, y) en el dominio de f,$| \frac{2xy}{x^2+y^2} -1| < \epsilon$ siempre que$0< \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} <\delta$.

He hecho$| \frac{2xy}{x^2+y^2} -1|$ a$\frac{(x-y)^2}{x^2 + y^2} $, pero no puedo hacer que se vea como$\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}$ ..... ¿qué debo hacer a partir de ahora? :(

Answer 1

Entonces tienes $$ \ frac {(xy) ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}. $$ Como siempre se puede asumir que$x> 1/2$ y$y>1/2$, $$ x ^ 2 + y ^ 2> \ frac {1} {2}, $$ y $$ \ frac {(xy) ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} <2 (xy) ^ 2. $$ Ahora,$(x-y)^2 = |(x-y)(x-y)|< (|x|+|y|)|x-y| < \left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2} \right) |x-y|$ porque también puede asumir$x<3/2$,$y<3/2$. Dejo la verificación de que$|x-y|$ puede hacerse arbitrariamente pequeño si$x \to 1$,$y \to 1$.

Answer 2

¿Qué acerca de la sustitución de $x=s+1$, $y=t+1$?

Usted obtener $$\frac{2xy}{x^2+y^2}-1= \frac{2(s+1)(t+1)}{(s+1)^2+(t+1)^2}-1= \frac{2(st+s+t+1)}{(s+1)^2+(t+1)^2}-1= \frac{2(st+s+t+1)-s^2-c^2-2s-2t-2}{(s+1)^2+(t+1)^2}= \frac{2st-s^2-c^2}{(s+1)^2+(t+1)^2}= \frac{-(s-t)^2}{(s+1)^2+(t+1)^2} $$

Ahora usted quiere elegir a $\delta>0$, de tal manera que $|s|,|t|<\delta$ implica $$\frac{(s-t)^2}{(s+1)^2+(t+1)^2} < \varepsilon.$$

Si usted es capaz de encontrar una $\delta_1>0$ tal que $|s|,|t|<\delta_1$ implica $$(s+1)^2+(t+1)^2\ge \frac12$$ a continuación, usted solo necesita encontrar $\delta_2>0$ tal que $|s|,|t|<\delta_2$ implica $$(s-t)^2<\frac\varepsilon2.$$ Entonces usted puede optar $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$.