Variación de parámetros: $3y''+4y'+4=(\sin(t))e^{-t}$

Question

Resolver los siguientes valores iniciales problema:

$$3y''+4y'+4=(\sin(t))e^{-t}$$

donde $y(0)=1, y'(0)=0$

Aquí están mis pasos:

Empecé con la ecuación homogénea:

$$3y''+4y'+4=0$$

y se encontró que las raíces se $\frac{-1}{3}$ $-1$

Lo que significa que dos de las soluciones son:

$y_1(t)=e^{\frac{-t}{3}}$

$y_2(t)=e^{-t}$

Yo estaba a punto de usar el wronskian pero luego me decidí a pasar por alto mi libro y darse cuenta de que el autor puso una nota que decía:

Cómo hacer una nota de que el coeficiente de $y''$ es de 3. Cómo me afecta?

Answer 1

Basta con dividir por $3$ a traer la ecuación en la forma estándar, por ejemplo,

$$y''+\frac{4}{3}y+ \frac{4}{3} = 0$$

con carácter correspondiente ecuación de $r^2 + \frac{4}{3}r + \frac{4}{3}=0$.

Tenga en cuenta que aunque esto no cambia las raíces de la ecuación característica, se altera la $g(x)$ en el lado derecho de la no homogénea de la ecuación (para este caso, $g(x)=\frac{e^{-t}\sin t}{3}$), por lo que las fórmulas para la variación de los parámetros no funcionará a menos que el DE está en forma estándar.

Para calcular una solución particular de la no homogénea del sistema, determinar el $W(y_1, y_2)$ y el uso de $Y(t)= u_1 y_1 + u_2 y_2$ donde $y_1$ $y_2$ son las soluciones de la homogénea de la DEs se encuentra en tu post, y

$$u_1(x) = -\int \frac{y_1(x) g(x)}{W(y_1,y_2)} \, dx, \quad u_2(x) = \int \frac{y_2(x) g(x)}{W(y_1,y_2)} \, dx.$$

Answer 2

Hagamos un cambio de variable $$ye^t = u,y = ue^{-t}, y' = u'e^{-t} - ue^{-t}, y'' = u''e^{-t}-2u'e^{-t}+ue^{-t} $ $

para que $$(\sin(t))e^{-t} = 3y''+4y'+4y= \left( 3(u'' - 2u' + u) + 4(u'-u)+4u\right)e^{-t} $$ that is $u $ satisfies $% $ $3u''-2u'+3u = \sin t $ya que tiene $u'' + u = 0$ una solución particular es %#% $ #%

tratar de encontrar $$ u =\frac 12 \cos t , y = \frac 1 2 e^{-t}\cos t $ que $a, b$ $ satisface las condiciones iniciales.