Ayuda con espacios métricos

Question

$\newcommand{\Int}{\operatorname{Int}}\newcommand{\Bdy}{\operatorname{Bdy}}$ Si $A$ y $B$ juegos en un espacio métrico, muestran que: (tenga en cuenta que $\Int$ está parado para el interior del conjunto)

1. $\Int (A) \cup \Int (B) \subset \Int (A \cup B)$.
2. $(\overline{ A \cup B}) = (\overline A \cup \overline B )$. (tenga en cuenta que $\overline A = \Int (A) \cup \Bdy(A)$)

Ahora para el primero (1) ver por qué su verdadero por ejemplo en $R$ podemos tener los intervalos $A=[a,b]$ y $B=[b,c]$ tenemos $A \cup B=[a,c]$ tan $\Int(A \cup B)=(a,c)$ahora $\Int(A)=(a,b)$ y $\Int(B)=(b,c)$ por lo que perdemos $b$ cuando tomamos Unión forma $\Int(A) \cup \Int(B)=(a,b) \cup (b,c)$.

Answer 1

Número dos, recomiendo demostrando con diagramas de Venn. Tiene dos círculos superpuestos etiquetados A y B. Través de sombreado, muestran que el mismo espacio de sombreado para cada lado de la ecuación.

Answer 2

Usted ha hecho un buen comienzo en (1). Sin embargo, dados dos intervalos de $[a, b]$ $[c, d]$ $\mathbb{R}$ ¿por qué debería ser el caso de que $b = c$? Por otra parte, ¿por qué los dos conjuntos en $\mathbb{R}$ siquiera necesita ser cerrado intervalos?

Lo que si $A = \mathbb{N}$. Entonces tenemos $A \subset \mathbb{R}$!

Por lo tanto usted debería volver a la definición del interior!

Supongamos $x \in \Int(A) \cup \Int(B)$. ¿Qué significa esto? Una vez que sabemos lo que significa, podemos mostrar por qué la $x \in \Int(A \cup B)$? De esta manera, usted también va a evitar la necesidad de alguna de las características especiales de $\mathbb{R}$!

Answer 3

Recordemos que $\operatorname{Int}(A) \subset A$ para cualquier conjunto de $A$ y que el interior es el más grande tal abierto conjunto contenido en $A$. Asimismo, $\overline A$ es el menor conjunto cerrado que contiene $A$.

Entonces $(a)$, $\operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Int}(B) \subseteq A \cup B$ y es un conjunto abierto, así $\operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Int}(B) \subseteq \operatorname{Int}(A \cup B)$.

$(b)$ $\overline{A} \cup \overline{B}$ Es un conjunto cerrado que contiene $A \cup B$, que $\overline{A \cup B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}$. Para el otro lado de la inclusión, desde $\overline{A} \subseteq \overline{A \cup B}$ y $\overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}$, tenemos $\overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}$.