Límites sin L ' Hopital $\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{3x}-e^{-4x}}{\sin5x}.$

Question

Tengo una constatación del problema

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-e^{-4x}}{\sin5x}.$$

Sé que la regla de L'hopital puede utilizarse para obtener la respuesta de $\dfrac{7}{5}$, pero traté de hacerlo sin el L'hopital. He intentado resolver mediante el uso de expansión de la serie y consiguió la respuesta correcta, pero el método tuvo tanto tiempo.

¿Quiero saber si hay cualquier otro método para resolver el problema?

Answer 1

No veo cómo tarda mucho tiempo para escribir la expansión de la serie. Si usted limítese a grado $1$ $x$ es absolutamente un uno-trazador de líneas.

$\dfrac{e^{3x}-e^{-4x}}{\sin(5x)}=\dfrac{(1+3x+o(x))-(1-4x+o(x))}{5x+o(x)}=\dfrac{7x+o(x)}{5x+o(x)}\to \dfrac 75$

Answer 2

Por límites estándar, tenga en cuenta que

$$\frac{e^{3x}-e^{-4x}}{\sin5x}=e^{-4x}\frac{e^{7x}-1}{7x}\frac{5x}{\sin5x}\frac{7x}{5x}\to 1\cdot 1\cdot 1\cdot\frac75=\frac75$$

Answer 3

\begin{align} \lim{x \to 0}\frac{e^{3x}-e^{-4x}}{\sin 5x}&=\lim{x\to 0}\left(\frac{e^{3x}-e^{-4x}}{x}\cdot\frac{x}{\sin 5x}\right)\[5pt] &=\lim{x\to 0}\frac{e^{-4x}\left(e^{7x}-1\right)}{x}\cdot\lim{x\to 0}\frac{x}{\sin 5x}\[5pt] &=\left(\lim{x\to 0} e^{-4x}\right)\left(\lim{x\to 0}\frac{e^{7x}-1}{x}\right)\left(\lim{x\to 0}\frac{5x}{5\sin 5x}\right)\[5pt] &=1\cdot\left(\left.\frac{d\,e^{7x}}{dx}\right|{x=0}\right)\cdot\frac1{5\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{5x}}\[5pt] &=1\cdot 7\cdot\frac{1}{5}\[5pt] &=\color{red}{\frac75} \end{align}

Answer 4

Sabiendo de los límites clásicos que %#% $ #% tenemos $$\frac{e^{h}-1}{h}=\lim_{u\to0} \frac{u}{\sin u}=1$ $

Answer 5

ps