Encontrar una fórmula cerrada para$1\cdot2\cdot3\cdots k +\dots + n(n+1)(n+2)\cdots(k+n-1)$

Question

Teniendo en cuenta las siguientes fórmulas:

i $1+2+3+..+n = n(n+1)/2$

(ii) $1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3$

(iii) $1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+...+n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4$

Encontrar y demostrar una fórmula de cerrado para la suma

$1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot k + 2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot(k+1) + ... + n(n+1)(n+2)\cdot...\cdot (k+n-1)$

generalización de las fórmulas anteriores.

He intentado 'juntar' las 3 primeras fórmulas pero estoy consiguiendo saber dónde y se preguntaba dónde empezar incluso a la búsqueda de una fórmula cerrada.

Answer 1

El patrón se ve bastante claro: usted tiene

$$\begin{align*} &\sum_{i=1}^ni=\frac12n(n+1)\\ &\sum_{i=1}^ni(i+1)=\frac13n(n+1)(n+2)\\ &\sum_{i=1}^ni(i+1)(i+2)=\frac14n(n+1)(n+2)(n+3)\;, \end{align*}\etiqueta{1}$$

donde la derecha lados están cerrados fórmulas para la izquierda lados. Ahora que usted desea

$$\sum_{i=1}^ni(i+1)(i+2)\dots(i+k-1)\;;$$

¿qué es la extensión obvia de que el patrón de $(1)$? Una vez que usted lo escriba, la prueba será por inducción en $n$.

Añadido: El resultado general, de la cual los tres en $(1)$ son casos especiales, es $$\sum_{i=1}^ni(i+1)(i+2)\dots(i+k-1)=\frac1{k+1}n(n+1)(n+2)\dots(n+k)\;.\tag{2}$$ For $n=1$ this is $$k!=\frac1{k+1}(k+1)!\;,$$ which is certainly true. Now suppose that $(2)$ sostiene. Entonces

$$\begin{align*}\sum_{i=1}^{n+1}i(i+1)&(i+2)\dots(i+k-1)\\ &\overset{(1)}=(n+1)(n+2)\dots(n+k)+\sum_{i=1}^ni(i+1)(i+2)\dots(i+k-1)\\ &\overset{(2)}=(n+1)(n+2)\dots(n+k)+\frac1{k+1}n(n+1)(n+2)\dots(n+k)\\ &\overset{(3)}=\left(1+\frac{n}{k+1}\right)(n+1)(n+2)\dots(n+k)\\ &=\frac{n+k+1}{k+1}(n+1)(n+2)\dots(n+k)\\ &=\frac1{k+1}(n+1)(n+2)\dots(n+k)(n+k+1)\;, \end{align*}$$

exactamente lo que queríamos, que nos da el paso de inducción. Aquí $(1)$ es sólo que separa el último término de la sumatoria de la primera $n$, $(2)$ está aplicando la hipótesis de inducción, $(3)$ está sacando el factor común de $(n+1)(n+2)\dots(n+k)$, y el resto es álgebra.

Answer 2

Si se dividen ambos lados de la $k!$ obtendrá los coeficientes binomiales y en realidad usted está tratando de demostrar $$\binom kk + \binom{k+1}k + \dots + \binom{k+n-1}k = \binom{k+n}{k+1}.$$ Este es, precisamente, la identidad de esta pregunta.

El mismo argumento para $k=3$ fue utilizado aquí.

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O se puede ver en el problema al revés: Si usted demostrar este resultado acerca de finito de sumas $$\sum_{j=1}^n j(j+1)\dots(j+k-1)= \frac{n(n+1)\dots{n+k-1}}{k+1},$$ también puedes obtener una prueba de la identidad acerca de los coeficientes binomiales.

Answer 3

Para un fijo no negativo $k$, que $$f(i)=\frac{1}{k+1}i(i+1)\ldots(i+k).$ $ entonces $$f(i)-f(i-1)=i(i+1)\ldots(i+k-1).$ $ por telescópico,

$$\sum{i=1}^ni(i+1)(i+2)\dots(i+k-1)=\sum{i=1}^n\left(f(i)-f(i-1)\right)=f(n)-f(0)=f(n)$$

y ya terminamos.

Answer 4

Me preguntó exactamente esta pregunta hace un par de días, aquí:

Telescópico de la serie de la forma $\sum (n+1)\cdot...\cdot(n+k)$

Mi favorito vía de solución hasta el momento es para iniciar con el palo de hockey de identidad.

Answer 5

De (i) (ii) y (iii) es razonable conjeturar que su suma es $$n(n+1)\cdot...\cdot(n+k)/(k+1)$ $ tratar de demostrarlo por inducción.