¿Cómo probar este límite integral $=f( \frac {1}{2})$

Question

Deje que $f$ ser una función continua en el intervalo de unidades $[0,1]$ . Demuestra que $$ \lim_ {n \to\infty } \int_ {0}^{1} \cdots\int_0 ^1 \int_ {0}^{1}f \left ( \dfrac {x_{1}+x_{2}+ \cdots +x_{n}}{n} \right )dx_{1}dx_{2} \cdots dx_{n}=f \left ( \dfrac {1}{2} \right )$$

Este problema es de Problemas seleccionados en el análisis real . Pero el autor no incluye una solución. ¿Quizás haya un método para este tipo de problema?

Tal vez podamos usar esto: $$ \int_0 ^1 \cdots\int_ {0}^{1} \int_ {0}^{1} \dfrac {x_{1}+x_{2}+ \cdots +x_{n}}{n}dx_{1}dx_{2} \cdots dx_{n}= \dfrac {1}{2}?$$

También encontré un problema similar en esta pregunta .

Answer 1

Podemos aprovechar una interpretación probabilística. Sea $X_1,\ldots,X_n$ sean variables aleatorias uniformemente distribuidas en $[0,1]$ y $\bar X=\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$ . Entonces $$\lim\limits_{n\to \infty}\int_0^1\cdots\int_0^1f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)dx_1\cdots dx_n =\lim\limits_{n\to\infty}E[f(\bar X)]=E\left[f\left(\frac12\right)\right]=f\left(\frac12\right)$$ desde $\bar X$ converge en la distribución a $\frac12$ como $n\to \infty$ .

Answer 2

Empezando por la insinuación de OP,

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right)dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\dfrac{1}{2}$ ,

Ahora, tratamos de mostrar, $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right)^k dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\dfrac{1}{2^k}$

Si contamos el número de términos en la expansión multinomial de $\bigg(\sum\limits_{i=1}^n x_i\bigg)^k$ que contiene todas las variables con potencia no superior a $1$ es $n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1) = n^k + O(n^{k-1})$ ,

y el número de términos que tiene al menos uno $x_i$ plazo con poderes superiores a $1$ no es más que $n.n^{k-2} = n^{k-1}$ .

Así, combinando todos los términos obtenemos, $\displaystyle \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right)^k dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\dfrac{1}{2^k} + O\bigg(\frac{1}{n}\bigg)$

Por lo tanto, el límite anterior es cierto para los polinomios.

Utilizando el teorema de aproximación de Weierstrass, podemos elegir un polinomio $P$ , de tal manera que $|f(x) - P(x)| < \epsilon/3$ para todos $x \in [0,1]$ .

Así, podemos encontrar un $N \in \mathbb{N}$ , de tal manera que $\forall n >N$ ,

$\displaystyle \left| \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} P\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right) dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n} - P\left(\frac12\right)\right| < \epsilon/3$

Por lo tanto, para $n > N$ ,

$\displaystyle \left| \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right) dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n} - f\left(\frac12\right)\right| < \left| \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right) - P\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right) dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\right| + \left| \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} P\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right) dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n} - P\left(\frac12\right)\right| + \left|f\left(\frac12\right) - P\left(\frac12\right)\right| $

$\le \displaystyle \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \left| f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right) - P\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right)\right| dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n} + 2\epsilon/3 < \epsilon$

Así, $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty} \int_{0}^{1}\cdots\cdots\int_{0}^{1}f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right)dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ .

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1}\!\!\!\!\cdots\!\!\int_{0}^{1} \fermi\pars{x_{1} + \cdots + x_{n} \over n} \,\dd x_{1}\ldots\dd x_{n} = \fermi\pars{\half}}:\ {\Large ?}}$

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\begin{align} &\bbox[#ffd,5px]{% \lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \fermi\pars{x_{1} + \cdots + x_{n} \over n} \,\dd x_{1}\ldots\dd x_{n}} \\[5mm] = &\ \lim_{n \to \infty}\ \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \int_{-\infty}^{\infty} \\[2mm] &\ \phantom{\lim_{n \to \infty}\,\,\,} \tilde{\fermi}\pars{k} \exp\pars{\ic k\,{x_{1} + \cdots + x_{n} \over n}} \,{\dd k \over 2\pi}\dd x_{1}\ldots\dd x_{n} \end{align} donde $\ds{% \tilde{\fermi}\pars{k} \equiv \int_{-\infty}^{\infty}\fermi\pars{x} \expo{-\ic k x}\,\dd x}$ es el $\ds{\fermi\pars{x}}$ Transformada de Fourier .

\begin{align} &\bbox[#ffd,5px]{% \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \fermi\pars{x_{1} + \cdots + x_{n} \over n} \,\dd x_{1}\ldots\dd x_{n}} \\[5mm] = & \lim_{n \to \infty}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\fermi}\pars{k} \pars{\int_{0}^{1}\expo{\ic kx/n}\,\dd x}^{n}\,{\dd k \over 2\pi} \\[5mm] = &\ \lim_{n \to \infty}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\fermi}\pars{k} \pars{\expo{\ic k/n} - 1 \over \ic k/n}^{n}\,{\dd k \over 2\pi} \\[5mm] = &\ \lim_{n \to \infty}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\fermi}\pars{k} \exp\pars{\ic k \over 2} \braces{\sin\pars{k/\bracks{2n}} \over k/\bracks{2n}}^{n}\,{\dd k \over 2\pi} \end{align}

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\begin{align} &\bbox[#ffd,5px]{\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \fermi\pars{x_{1} + \cdots + x_{n} \over n} \,\dd x_{1}\ldots\dd x_{n}} \\[2mm] = &\ \int_{-\infty}^{\infty} \fermi\pars{x}\lim_{n \to \infty} \operatorname{K}_{n}\pars{x - \half}\,\dd x \end{align} donde $$ \operatorname{K}_{n}\pars{x} \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\ic k x} \braces{\sin\pars{k/\bracks{2n}} \over k/\bracks{2n}}^{n} \,{\dd k \over 2\pi} $$ Desde $\ds{\lim_{n \to \infty}{\rm K}_{n}\pars{x} = \delta\pars{x}}$ Tendremos: \begin{align} &\bbox[#ffd,5px]{\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \fermi\pars{x_{1} + \cdots + x_{n} \over n} \,\dd x_{1}\ldots\dd x_{n}} \\[5mm] = &\ \int_{-\infty}^{\infty} \fermi\pars{x}\delta\pars{x - \half}\,\dd x \end{align}

$\ds{\delta}$ es el Función Delta de Dirac .

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Finalmente, \begin{align} &\bbox[#ffd,5px]{\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \fermi\pars{x_{1} + \cdots + x_{n} \over n} \,\dd x_{1}\ldots\dd x_{n}} \\[5mm] = &\ \bbox[5px,border:1px groove navy]{\fermi\pars{\half}} \\ & \end{align}

Answer 4

Definir $$ \psi_n(x)=\overbrace{\left(n\chi_{[0,1/n]}\right)\ast\cdots\ast\left(n\chi_{[0,1/n]}\right)}^{\text{convolution of $ n $ copies}} $$ Entonces $$ \begin{align} &\int_0^1\cdots\int_0^1f\left(\frac1n\sum_{k=1}^nx_k\right)\,\mathrm{d}x_1\dots\,\mathrm{d}x_n\\ &=n^n\int_0^{1/n}\cdots\int_0^{1/n}f\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)\,\mathrm{d}x_1\dots\,\mathrm{d}x_n\\ &=\int_\mathbb{R}f(x)\psi_n(x)\,\mathrm{d}x \end{align} $$ El Teorema Central del Límite dice que como $n\chi_{[0,1/n]}$ tiene media $\frac1{2n}$ y la varianza $\frac1{12n^2}$ la convolución de $n$ copias tiende a una distribución normal con media $\frac12$ y la varianza $\frac1{12n}$ $$ \psi_n\sim\sqrt{\frac{6n}\pi}\ e^{-6n(x-1/2)^2} $$ que es una aproximación de la función delta de Dirac en $x=1/2$ . Es decir, $$ \lim_{n\to\infty}\int_\mathbb{R}f(x)\psi_n(x)\,\mathrm{d}x=f(1/2) $$