Subconjuntos compactos en$l_\infty$ (al contrario de mi última pregunta)

Question

(Conversar de mi última pregunta)

Si $A \subseteq \ell_\infty$, e $A=\{l\in \ell_\infty: |l_n| \le b_n \}$ donde $b_n$ es una secuencia de lo real, no de números negativos, entonces si $\lim (b_n) = 0$ debe significar que $A$ es subconjunto compacto de $X$.

Tomar cualquier secuencia de secuencias de $(x_n)$, nuestro objetivo es construir una larga, $(x_{n_k})$, con lo cual convergen. Supongamos por $n \geq N$ tenemos $|b_n|<\epsilon$ (por la convergencia de $(b_n)$). Por primera $N-1$ de los puntos, sin embargo, pensé que podía usar Bolzanno-Weirstrass en cada una de las $N-1$ primeros términos (desde $|x_n| \le b_n \forall n$) de la siguiente manera: aplicar Bolzano Weirstrass en todos los primeros términos, luego para el segundo de los términos que se aplican en la larga llegamos de los primeros términos, y así sucesivamente... y reclamo de esta larga van a converger a $\{x_1,x_2,...,x_{N},...\}$ - editado, donde $x_i$ es el límite de la $i_{th}$ larga.

Sin embargo, a la larga podría haber creado un par de casos en los que se terminan sin términos al final de este argumento inductivo. Mi profesor me dijo que el uso de Diagonalización de Cantor para evitar esto, pero no veo cómo esto iba a funcionar.

Answer 1

Con diagonal argumento: la secuencia de $\{x_n^{(1)}\}$ es limitada, de ahí que podamos encontrar $A_1$, un subconjunto infinito de $\Bbb N$, de tal manera que $\{x_n^{(1)}\}_{n\in A_1}$ es convergente. A continuación, construir a través de la inducción de una disminución de la secuencia de $\{A_k\}$ de los infinitos subconjuntos de a $\Bbb N$ tal que $\{x_n^{(k)}\}_{n\in A_k}$ converge a algunos $x^{(k)}$. Después denotar $j_k$ $k$- ésimo elemento de a $A_k$, y considerar la secuencia de $x_{j_k}$. Es una larga de $\{x_n\}$, y para cada $j$, $x_{n_k}^{(j)}\to x^{(j)}$. El hecho de que $b_n\to 0$ da la convergencia en $\ell_{\infty}$.

El uso de pre-compacidad: fix $\varepsilon>0$, e $N$ tal que $|b_n|<\varepsilon$ si $n\geq N$. Luego, usamos el hecho de que $\prod_{j=1}^N[-b_j,b_j]\subset \Bbb R^n$ es precompact para obtener $v_1,\dots,v_l$ de manera tal que cada elemento de a $\prod_{j=1}^N[-b_j,b_j]$ es en algunos $B(v_j,\varepsilon)$. Por último, defina $w_j:=(v_j,0,\dots,0)$. Como $A$ es cerrado y precompact en un espacio de Banach, es un conjunto compacto.