Propiedades del rectángulo especial (medida)

Question

Dejemos que $I$ sea un rectángulo especial en $\mathbb{R}^n$ y denota $\lambda(A)$ la medida de $A$ . Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

a) $\lambda(I)=0$

b) $I^{\circ}=\emptyset$ (es decir, el interior de $I$ está vacío)

c) $I$ está contenido en un subespacio afín de $\mathbb{R}^n$ que tenga una dimensión menor que $n$ . (Un subespacio afín es cualquier conjunto de la forma $\{x_0+x|x\in E\}$ , donde $x_0\in\mathbb{R}^n$ es fijo y $E$ es un subespacio del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ . Su dimensión es igual a la dimensión de $E$ .)

La implicación $a\implies b$ no está tan mal (usando la definición si $I=[a_1,b_1]\times...\times[a_n,b_n]$ entonces $\lambda(I)=(b_1-a_2)...(b_n-a_n)$ . Así que concluimos $a_i=b_i$ para algunos $i$ . Y como $I^{\circ}$ está abierto, no puede haber nada contenido en él). También veo que c) tiene sentido (al menos intuitivamente), pero no sé cómo demostrarlo formalmente. Gracias.

Answer 1

$a\implies b$ : Si $a_i=b_i$ para algunos $i$ entonces $(a_i,b_i)=\emptyset$ y el producto cartesiano del conjunto vacío y cualquier conjunto es vacío.

$b\implies c$ : Evidentemente, para algunos $i$ , $a_i=b_i$ porque $I^{\circ}=[a_1,b_1]^{\circ}\times...\times [a_n,b_n]^{\circ}$ . Así que $I$ es de la forma $x_0\times...\times [a_n,b_n]$ para algunos $x_0$ . Este es nuestro $x_0$ en la definición de espacio afín. Tomemos ahora $E=\{0\}\times\Bbb{R}^{n-1}$ .

$c\implies a$ : Aquí suponemos que para cualquier $\textbf{x}\in I$ , $(x_1,...,x_n)=x_0+\textbf{e}$ para algunos $\textbf{e}\in E$ . Si $\dim E=m<n$ entonces $\textbf{x}=x_0+\textbf{e}=x_0+(e_1,...,e_m,0,...,0)$ lo que demuestra que al menos para una $i$ , $a_i=b_i=0$ .