¿Esta variante de la irrestricto de la comprensión de la presa a una modificación de la paradoja de Russell?

Question

Déjenos estado axioma esquemas sin parámetros, así como para facilitar la legibilidad, pero con el entendimiento de que en realidad queremos decir con parámetros.

En virtud de este convenio, el tristemente célebre Axioma Esquema de libre Comprensión puede ser escrito de la siguiente manera.

$$\exists A\forall e(e \in A \leftrightarrow P(e))$$

Russell paradoja se deriva una contradicción a partir de este esquema. La prueba es más o menos la siguiente.

1. Sustituto $P(e)$ $e \notin e.$ $$\exists A\forall e(e \in A \leftrightarrow e \notin e)$$

2. Deje $A$ ser fijo, pero arbitraria de la satisfacción de la oración anterior. $$\forall e(e \in A \leftrightarrow e \notin e)$$

3. Reemplace$e$$A$. $$A \in A \leftrightarrow A \notin A$$

Ahora es de suponer que, cuando esta paradoja fue descubierto por primera vez, los matemáticos intentado muy duro para salvar sin restricciones de comprensión. Una obvia primer intento sería:

$$\exists A\forall e(e \in A \leftrightarrow e \neq A \wedge P(e))$$

Esta vez, obtenemos

$$A \in A \leftrightarrow A \neq A \wedge A \notin A$$

que no es contradictoria, de hecho, podríamos concluir $A \notin A.$

Pero, supongo que el esquema modificado cae presa de algún tipo de "modificación de la paradoja de Russell." Ideas, cualquier persona?

Edit. Como aws señala en los comentarios, este esquema es en realidad consistente. Considere un modelo con un único elemento $*$ y definen $* \notin *$.

Por lo tanto, al menos deberíamos asumir que existe un conjunto no vacío. Siéntase libre de utilizar algo más fuerte, como la existencia de un conjunto infinito.

Answer 1

Podemos hacer algo que es esencialmente similar a la paradoja de Russell, pero requiere un poco más de trabajo y la suposición de que hay $X$$Y$$X \neq Y$. Deje $A$ ser tal que para todos los $x$: $$ x \in A \leftrightarrow (x \neq \wedge \neg (\existe y\; y \x \wedge x \y)) $$

Si sólo podemos mostrar que el singleton $\{A\}$ existe, entonces podemos razonar de la siguiente manera:

Desde $A \notin A$, es evidente que no puede tener $A = \{A\}$. Supongamos $\{A\} \in A$. Entonces, desde el $A \in \{A\}$, tendríamos $\exists y\; y \in \{A\} \wedge \{A\} \in y$, y la conclusión de $\{A\} \notin A$, una contradicción. Por lo tanto $\{A\} \notin A$. Pero ahora suponga que el $y$ es tal que $y \in \{A\}$$\{A\} \in y$. Desde $y \in \{A\}$ debemos tener ese $y = A$, y por lo $\{A\} \in A$, y así, por contradicción con $\{A\} \notin A$, debemos tener $\neg (\exists y\;y\in \{A\} \wedge \{A\} \in y)$. Pero ahora podemos concluir $\{A\} \in A$ y finalmente deducir que la teoría de la inconsistencia.

Para mostrar $\{A\}$ existe, se mostrará $A$ es no vacío y, a continuación, aplicar el siguiente lema:

Lema Supongamos que $X$ es no vacío. Entonces existe un conjunto $Y$ tal que para todo $y$, $y \in Y$ si y sólo si $y = X$.

La prueba Deje $Y$ ser tal que $y \in Y \leftrightarrow (y \neq Y \wedge y = X)$. Supongamos $Y$ está vacía. A continuación,$X \notin Y$, por lo que estamos obligados a concluir $X = Y$. Pero $Y$ está vacía y $X$ es no vacío, la contradicción. Por lo tanto $Y$ es no vacío, pero esto fácilmente implica el resultado.

Ahora solo tenemos que crear un elemento de $A$. Este también es el primer lugar donde vamos a exigir "la no trivialidad," así que vamos a asumir que no se $X$ $Y$ tal que $X \neq Y$.

Deje $C$ ser tal que para todos los $x$, $$ x \C \leftrightarrow x \neq C $$ Tenga en cuenta que $C$ tiene que contener $X$ o $Y$, y por lo $C$ no puede ser vacío. Tenga en cuenta también que podemos construir un conjunto vacío, $E$. Desde $C$ es no vacío tenemos $C \neq E$, y por lo $E \in C$.

Ahora vamos a $B$ ser tal que para todos los $x$, $$ x \in B \leftrightarrow (x \neq B \wedge \existe y \x\;y \text{ vacío}) $$ Tenga en cuenta que $C \neq B$ porque $B$ no puede contener ningún vacío conjuntos. Por lo tanto $C \in B$, y por lo $B$ no está vacía. Por lo tanto $\{B\}$ existe por el lema. Tenga en cuenta que si $y \in \{B\}$$\{B\} \in y$, entonces tendríamos $y = B$$\{B\} \in B$. Pero, a continuación, $\{B\}$ tendría que contener un conjunto vacío y por lo $B$ estaría vacía. Contradicción. Por lo tanto $\neg (\exists y \; y \in \{B\} \wedge \{B\} \in y)$. Tenga en cuenta que si $\{B\} = A$, entonces nosotros ya se sabe que $A$ es no vacío, y así, podemos asumir $\{B\} \neq A$. Pero esto implica $\{B\} \in A$, y así tenemos que $A$ es no vacío, y por lo $\{A\}$ existe, lo que resulta en la teoría es inconsistente.