Probar que P/PJ es un proyectiva derecho en el módulo de I/J

Question

Si P es proyectivo derecho módulo a través de un anillo R y J es un dos caras ideal de R. Probar que P/PJ es un proyectiva derecho en el módulo de I/J .

Mi idea era intentar la prueba de que "$M$ $R$- módulo de iff $M$ es un módulo más de $R/J$ " donde J es un ideal de R .

Answer 1

Para todos los $R$-módulos de $M$ tenemos un isomorfismo $M/MJ\cong M\otimes_R(R/J)$ derecho $R/J$/módulos. De ello se desprende que el functor $F:M\in\mathrm{Mod}_R\to M/MJ\in\mathrm{Mod}_{R/J}$ es isomorfo a $(\mathord-)\otimes_R(R/J)$, que tiene un derecho adjoint $\hom_{R/J}(R/J,\mathord-):\mathrm{Mod}_{R/J}\to\mathrm{Mod}_R$, lo cual es visto inmediatamente a la mapa surjections a surjction

Como $F$ es una izquierda adjunto a un functor que conserva surjections, se asigna projectives a projectives.

Answer 2

Supongamos $M$ es un derecho $R/J$-módulo y ver también como un derecho $R$-módulo de una manera obvia. Una $R$-lineal mapa de $f:P\to M$ tiene que desaparecer en $PJ$, por lo que se induce un mapa de $\bar f:P/PJ\to M$. Esto nos da un mapa de $$\phi:f\in\hom_R(P,M)\longmapsto\bar f\in\hom_{R/J}(P/PJ,M).$$ Por otro lado, si $g:P/PJ\to M$ es una de morfismos de $R/J$-módulos, a continuación, a continuación, también es una de morfismos de $R$-módulos y su composición $g\circ\pi$ con la proyección de $\pi:P\to P/PJ$ es también un mapa de $R$-módulos. Tenemos por lo tanto un bien definidos mapa de $$\psi:g\in\hom_{R/J}(P/PJ,M)\longmapsto g\circ\pi\in\hom_R(P,M).$$

Usted puede comprobar fácilmente que $\phi$ $\psi$ son inversas bijections, y de hecho isomorphisms de abelian grupos.

Ahora $P$ $R$- proyectiva, por lo $\hom_R(P,\mathord-)$ es un functor exacto en $R$-módulos. Muestra el uso de la por encima de ese $\hom_{R/J}(P/PJ,\mathord-)$ es un functor exacto en $R/J$-módulos, de modo que $P/PJ$ $R/J$- proyectiva.

Answer 3

Si $P$ $R$- proyectiva, se puede disfrutar de la $R$-módulo de $F$ y un idempotente endomorfismo $p:F\to F$ tal que $p(F)\cong P$.

Ahora vamos a $J$ un ideal en $R$. Desde $F$ $R$gratis, $F'=F\otimes_R(R/J)$ $R/J$- libre. Por otro lado, el mapa de $p'=p\otimes\mathrm{id}_{R/J}:F'=F\otimes_R(R/J)\to F'=F\otimes_R(R/J)$ es un idempotente endomorfismo de $F'$, por lo que la imagen $p'(F')$ es un proyectiva $R/J$-módulo.

Comprobar ahora que $P/PJ$ es isomorfo como un $R/J$-módulo de a $p'(F')$.

Answer 4

Desde $P$ $R$- proyectiva, hay una base dual $(p_i,\phi_i)_{i\in I}$. Esto significa: hay un conjunto $I$, elementos $p_i\in P$ todos los $i\in I$, y morfismos de $R$-módulos de $\phi_i:P\to R$ todos los $i\in I$, de tal manera que para todos los $p\in P$ el conjunto $I_p=\{i\in I:\phi_i(p)\neq0\}$ es finito y $$p=\sum_{i\in I_p}p_i\phi_i(p).$$

Ahora vamos a $J$ un ideal en $R$. Para todos los $i\in I$, vamos a $\bar p_i=p_i+PJ$ ser la clase de $p_i$$P/PJ$. Por otro lado, la composición de la $P\xrightarrow{\phi_i}R\to R/J$ (con el segundo mapa de la canónica de proyección) se desvanece en el $R$-submódulo $PJ$, por lo que se induce un mapa de $\bar\phi_i:P/PJ\to R/J$ que es un mapa de $R$-módulos y de $R/J$-módulos.

Compruebe que $(\bar p_i,\bar\phi_i)_{i\in I}$ es una doble base de la $R/J$-módulo de $P/PJ$, por lo que es proyectiva.