Encontrar el siguiente límite $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}$

Question

Encuentre los siguientes límites

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}$$

Cualquier sugerencias/soluciones de cómo abordar esto? He intentado de muchas maneras, racionalización, tomo x, etc. Pero todavía no puedo deshacerme de la singularidad. Gracias de antemano.

También otra pregunta.

Encontrar el límite de $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos 3x-\cos x}{x^2}$$

He trabajado hasta aquí, después de que me quedé atrapado. Yo creo que es necesario para aplicar la presión theore, pero no estoy seguro de cómo.

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos 3x-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{-2\sin\frac{1}{2}(3x+x)\sin\frac{1}{2}(3x-x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin2x\sin x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-2(2\sin x\cos x)\sin x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-4\sin^2 x\cos x}{x^2}$$

Soluciones o sugerencias serán apreciados. Gracias de antemano! L'hospital de la regla no se permite.

Answer 1

Revisado para evitar l'Hospital de la regla:

Su segunda puede ser rematado como este:

$$\begin{align*} \lim_{x\to 0}\frac{-2\sin 2x\sin x}{x^2}&=-2\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}x\right)\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x\right)\\ &=-4\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x}\right)\cdot1\\ &=-4\;. \end{align*}$$

Trate de multiplicar la fracción en su primer límite por

$$\frac{(1+x)^{2/3}+(1+x)^{1/3}+1}{(1+x)^{2/3}+(1+x)^{1/3}+1}$$

y haciendo uso de la identidad de $(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Answer 2

Para el primero, la necesidad de racionalizar. La fórmula para $a^3-b^3$ rendimientos:

$$(\sqrt[3]{1+x}-1)(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1)= (1+x)-1 \,.$$

Alternativamente, ¿cuál es la definición de la derivada de $\sqrt[3]{1+x}$$x=0$.

Para el segundo, en este paso ya está listo:

$$\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin2x*\sin x}{x^2} \,.$$

Sólo uso

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin2x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

Answer 3

Igual N. S. dijo, mirando este límite como la derivada es una manera de resolver. También puede hacerlo en $u=x+1$ a simplificar su expresión y considerar la posibilidad de $f(u)=u^{1/3}$.

$$u=x+1\rightarrow \lim_{u\rightarrow 1} \frac{u^{1/3}-1}{u-1}=\lim_{u\rightarrow 1} \frac{f(u)-f(1)}{u-1}=f'(1)$$

Pero $f'(u) = \frac{1}{3}u^{-2/3}$,$f'(1) = \frac{1}{3}\cdot 1^{-2/3}=\frac{1}{3}$.

Answer 4

Desde $\cos(x) \sim -x^2/2$ si $x \to 0$, el segundo argumento de su segundo límite es $\frac{-9x^2/2 + x^2/2}{x^2}$ que evalúa a $-4$; para el primer límite, ya que los $(x+1)^{a} -1 \sim ax$ si $a > 0$ $x\to 0$ se obtiene que el argumento es $(1/3)x /x$ que evalúa a $1/3$.

Tenga en cuenta que $\sim$ significa asintótica. También, se podría decir que estos son los primeros términos de la serie de Taylor de las funciones de su límite, pero los asymptotics puede ser probada sin series de Taylor.

Answer 5

Al $x$ tiende a $0$, $(1+x)^n = nx$ Por lo tanto, $(1+x)^{1/3} = x/3$. El límite se convierte en $\lim_{x\to 0} \frac {1+x/3-1}{x} = 1/3$