Antiderivada de $\cos(x)\ln(1+\cos(x))$

Question

Estoy tratando de encontrar la antiderivada de $A(x)=\cos(x)\log(1+\cos(x))$

Usando integración por partes que obtengo :

$$\int A(x)\, dx = \sin(x)\ln(1+\cos(x))+\int \frac{\sin^2(x)}{1+\cos(x)} \\ =\sin(x)\ln(1+\cos(x))+\sin(x)\int \frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\\ =\sin(x) \ln(1+\cos(x))+\sin(x)(-\ln(1+\cos x))=0$$

Sin embargo, el uso formal de la calculadora puedo encontrar la antiderivada es $x+\sin(x)\ln(\cos(x)+1)-\sin(x)$. No veo dónde está mi error he aplicado $\int u'v \,dx=uv-\int uv'$ $u'=\cos(x)$ $v=\ln(1+\cos(x))$

Gracias

Answer 1

En la segunda línea, usted no puede tirar de la $\sin(x)$ frente a la integral. Usted debe utilizar $$ \sin^2(x)=1-\cos^2(x)=(1+\cos(x))(1-\cos(x)). $$

Answer 2

El error fue la Integración de la $\frac{sin^2 (x)}{1+cos(x)}$. El uso de $sin^2(x)=1-cos^2(x)=(1-cos(x))(1+cos(x))$.