He comprobado que el $K$ producto tensorial de dos centrales simples $K$ es en sí misma central simple, y he demostrado el teorema de Wedderburn, pero ahora necesito construir el grupo de Brauer. Me han dicho que dos álgebras $A\cong M_n(D)$ y $B\cong M_m(D')$ son equivalentes a Brauer si $D\cong D'$ . La operación sobre las clases de equivalencia se define como $[A][B]=[A\otimes B]$ . Habiendo mostrado el cierre, necesito mostrar:
Que la operación sea independiente del representante
Que $[K]$ es la identidad en el grupo de Brauer. Si la composición es independiente del representante entonces puedo usar $k$ y todo lo que tengo que mostrar es que $A\otimes K\cong A$ . Creo que un argumento sobre las dimensiones hace esto.
Que toda clase de equivalencia tiene una inversa. Me han dicho que la inversa de $A$ es $A^{op}$ , por lo que tendría que demostrar que $A\otimes A^{op}=M_n(K)$ para algunos $n$ .
La mayoría de los recursos que he encontrado en la red afirman esto como un hecho y no se molestan en demostrarlo. Si alguien pudiera remitirme a un recurso que cubra la construcción del grupo Brauer en detalle, se lo agradecería mucho.
