Demostrando que$x^3$ es continuo en$c$>$0$ usando$\epsilon$ -$\delta$

Question

Aquí está mi intento de $\epsilon$-$\delta$ prueba. Puede usted por favor confirmar si mi trabajo es la correcta? En particular, me permite enlazado $\delta$ en términos de $c$, el punto en el que me muestre que f es continua? Si esto es así, esto debido a que $c$ es fijo?

En este contexto, es suficiente para comprobar que ($\forall$$\epsilon$ > 0) ($\exists$$\delta$ > 0) ($\forall$x: |$x$ $-$ $c$| < $\delta$$\implies$|$x^3$ $-$ $c^3$| < $\epsilon$).

Supongamos $c$ > 0. En primer lugar, obligado $\delta$. $\delta$ < c, de modo que si|$x$ $-$ $c$| < $\delta$, a continuación, $x$ > 0. Por lo tanto, $cx$ > 0.

|$x^3$ $-$ $c^3$| = |$x$ $-$ $c$||$x^2$ $+$ $cx$ $+$ $c^2$| < |$x$ $-$ $c$||$x^2$ $+$ $2cx$ $+$ $c^2$| = |$x$ $-$ $c$|$(x + c)^2$

Desde $\delta$ < c, si|$x$ $-$ $c$| < $\delta$, entonces|$x$ $-$ $c$| < $c$, y así $0$ < $x$ < $2c$. Así, $(x + c)^2$ < $(2c + c)^2$ = $9c^2$.

Así que si|$x$ $-$ $c$| < $\delta$ < c, entonces|$x^3$ $-$ $c^3$| < |$x$ $-$ $c$|$(x + c)^2$ < |$x$ $-$ $c$|$\cdot$$9c^2$.

Por lo tanto, teniendo en cuenta algunas $\epsilon$ > 0, una elección adecuada para $\delta$ es $\min$ {$c$, $\frac{\epsilon}{9c^2}$}.

Answer 1

Creo que la prueba se ve bien y listo.

Has notado que desde $|x^3 - c^3| = |x-c|\,|x^2 + cx + c^2|$, sólo necesita controlar el tamaño de $|x^2 + cx + c^2|$ plazo, ya que $|x-c|$ es controlado por $\delta$. En su prueba, que se basó en gran medida en el hecho de que $c >0$, lo cual está bien. Alternativamente, usted podría ir sobre él, olvidando el signo de $c$ y hacer un argumento como $$ |x^2 + xc + c^2| \leq x^2 + c^2 + |x|\,|c| $$

así que con $\delta < 1$ (aquí se $1$ es mi favorito, básicamente, la elección arbitraria de un número positivo), si $|x-c| < \delta$, entonces (por la inversa de la desigualdad del triángulo) $|x| < |c|+1$, por lo que siempre que $\delta < 1$ $|x -c | < \delta$ $$ x^2 + c^2 + |x|\,|c| < (|c|+1)^2 + c^2 + (|c|+1)|c| < 3(|c|+1)^2 $$ y por lo tanto usted puede tomar $\delta = \min\left( \frac{\epsilon}{3(|c|+1)^2}, 1\right)$.